邊界元素法起源

冷卻是純 3D 模具冷卻分析的結果。它使用從 BEM (邊界元素法) 發展而來的數值法。從物理角度來看，BEM 會在求解過程中，將所有邊界視為熱源 (獲得/流失熱)。

模具中的溫度由所有來源的綜合影響決定。

3D 模具的平衡溫度場可由 Laplace 的方程式表示：

其中：

• 為溫度
• 為 Laplace 運算子
• 代表模具的表面面積和內部面積

上述方程式指代該區域中的特定點 ，且已將邊界條件統一為：

其中：

• 為模具材料的熱傳導係數，
• 為模具邊界的外向法向導數，
• 為模具邊界的相等熱傳導係數，
• 為周圍環境的相等溫度，
• 表示特定點，
• 為模具表面 (邊界)

為了瞭解 BEM 如何將所有邊界條件套用至模具溫度場求解，讓我們從加權餘數運算式開始：

其中， 為加權函數。

您可以使用格林第二恆等式，來將方程式 3 轉換為以下形式：

選擇 做為方程式 1 的基本解，其定義方式如下：

其中， 為 Dirac delta 函數。針對 3D 模具，可以將其描述為：

其中：

• 與 是空間中的兩點，
• 表示這兩點之間的距離，

那麼便可將方程式 4 簡化為：

其中：

• ，
• 為與內部立體角成比例的常數。

現在，方程式 7 只有邊界積分。因此，如果我們將所有模具表面 分割成 個元素，並假定每個邊界元素上的溫度與溫度梯度恆定，則可以將方程式 7 離散為以下形式：

，其中

• 為特定元素
• 為模具材料的熱傳導係數
• 為元素 的溫度

溫度影響項 (或稱為 H 項) (表示溫度對元素 [針對點 ] 的影響強度)，由以下表示式計算得出：

熱通量影響項 (或稱為 G 項) (表示熱通量輸入對元素 [針對點 ] 的影響強度)，由以下表示式計算得出：

假設 為元素 的形心。如果我們用 取代方程式 9 中的 ，那麼我們可以獲得 個線性方程式，如：