边界元法推导

冷却是真正的 3D 模具冷却分析产品。它使用由 BEM（边界元法）发展而来的数值方法。从物理角度来说，BEM 在求解过程中将所有边界作为热源（获得/损失热）。

模具中的温度是由合并所有源的影响而确定的。

3D 模具的平衡温度场可通过拉普拉斯方程表示为：

其中：

• 为温度
• 为拉普拉斯运算符
• 表示模具的表面区域和内部

上述方程是指该区域中的特定点 ，边界条件统一为：

其中：

• 为模具材料的热传导率
• 表示模具边界上朝外的法向衍生，
• 是模具边界上的等效热传到系数，
• 是周围环境的等效温度，
• 表示一个特定的点，
• 为模具表面（边界）

若要了解 BEM 如何将所有边界条件应用到模具温度场的解，让我们从加权残值表达式开始：

其中， 是权重函数。

通过利用格林第二恒等式，等式 3 可转化为以下形式：

选择 因为等式 1 的基本解定义如下：

其中， 为狄拉克 δ 函数。对于 3D 模具，此函数可以表示为：

其中：

• 和 是空间中的两个点，
• 表示两点之间的距离，

则等式 4 可以简化为：

其中：

• 和
• 是与实体内角成比例的常量。

现在，等式 7 仅具有边界集成。所以，如果将所有模具表面 划分成 个单元，并且假定温度和温度梯度在每个边界单元上恒定，则等式 7 可离散化为以下形式：

。其中，

• 为一个特定单元
• 为模具材料的热传导率
• 是单元 的温度

温度影响条件（所谓的 H 条件）表示单元 上 到点 处的温度影响强度，具体由此表达式给出：

热通量影响条件（或所谓的 G 条件）表示单元 上 到点 处的热通量输入影响强度，具体由此表达式给出：

假设 是 单元的质心。如果我们将等式 9 中的 替换为 ，我们将获得如下所示的 线性方程式：