基础运动 - 振动支持

假设：具有移动式基座的柔性系统包含的主体质量为 225 kg、支撑结构刚度为 35000 N/m，阻尼因子为 0.188。基座以正弦曲线振动，系统固有频率下振幅为 0.280 cm。

物理装配件。

基座以结构固有率频振动。

等效表示。

k = 35000 N/m

ζ = 0.188

x 和 y 是在振动教科书中用于测量质量和基座的绝对运动的典型项。小写斜体项 x 和 y 表示位置与时间的函数。

查找：

如果不想对整个支撑结构进行详细建模，可使用桁架单元表示。（请记住，桁架单元的刚度 k 为 A*E/L。）质量可以通过添加到桁架端点的集中质量表示。移动基座将通过固定边界条件表示，基础运动或基础加速度载荷将仿真基座的振动。带质量的桁架单元端点将有一个边界条件，用于限制质量仅在轴向振动。

步骤

  1. 执行“固有频率(模态)”分析，以获得固有频率。模态分析结果除了可提供频率之外（根据问题陈述的要求），还将用于以下两种分析类型。
  2. 执行基础加速度“频率响应”分析以获得质量的准稳态振幅。“频率响应”将仿真应用于模型的正弦载荷。
  3. 若要检查系统从无速度启动时出现的问题，请执行基础加速度“瞬态应力(模态叠加)”分析。“瞬态应力”使用用户定义的载荷曲线计算常规载荷的模型响应。瞬态期间会发生较大的变形吗？

构建模型：

  1. 启动新的 FEA 模型。
    1. 将分析类型设置为“线性: 固有频率(模态)”。
    2. 由于振动以厘米为单位，因此请为模型选择单位牛顿、厘米和秒。单击“替代默认单位”并将“单位制”下拉菜单设置为“自定义”，然后分别将力、长度和时间的对应单位设置为 N、cm 和 s。单击“确定”完成单位设置。
    3. 单击“新建”并输入模型名称。
  2. 通过“绘制”“绘制”“直线”添加一条直线来表示支撑结构。验证“作为构造体使用”复选框处于禁用状态。由于桁架单元是三维的，因此可采用任意方向，但出于一致性考虑，请使用上一图像中的方向。单元可采用任意长度（只要组合 A*E/L 得到的刚度值合适），请选择长度 2 cm。直线的起点为 (0,0,0)，将下一个端点置于 (0,0,2) 处。关闭对话框。
  3. 使用“视图”“浏览”“封闭”封闭整个模型。
  4. 将“单元类型”设置为“桁架”。在树视图中的“单元类型”标题上单击鼠标右键，然后选择“桁架”。
  5. 使用“单元定义”设置桁架属性。在“单元定义”标题上单击鼠标右键，然后选择“编辑单元定义”。可以将“横截面面积”设置为任何值，请输入值 1 cm 2 ，然后单击“确定”。
  6. 为简化输入，尤其是涉及质量的项，请将“显示单位”定义 kg 以作为质量单位。
    1. 在靠近树视图顶部的“单位制”分支上单击鼠标右键，然后选择“新建”。
    2. 将“单位制”下拉菜单设置为“自定义”，然后分别将力、长度、时间和质量的对应单位设置为 N、cm、s 和 kg。
    3. 为方便起见，请输入“说明”，例如 N cm kg。
    4. 单击“确定”完成设置并激活“显示单位”。
  7. 输入材料属性。在树视图中的“材料”标题上单击鼠标右键，然后选择“编辑材料”命令。由于已设定单元的长度和横截面面积，因此无法随意选择材料属性。弹性模量必须为 700 N/cm 2 以获得合适的刚度。[k = 35000 N/m = 350 N/cm = A*E/L = (1 cm 2 )*(700 N/cm 2 )/(2 cm)]。选择条目“[自定义]”，然后单击“编辑属性”。为“弹性模量”输入 700 N/cm 2 以避免因单元质量为 0 导致的潜在求解困难，为“质量密度”输入 0.05 kg/cm 3 。这样一来，根据之前选择的长度和面积，该单元的总质量将为 1 kg，与应用的质量 225 kg 相比变得无关紧要。单击“确定”两次以完成属性设置。
  8. 为模型添加边界条件。选择位于弹簧底部的顶点（“选择”“形状”“点或矩形”和“选择”“选择”“顶点”），单击鼠标右键，然后选择“添加”“节点边界条件”。单击“无平动”在 X、Y 和 Z 平动（Tx、Ty、Tz）方向上固定节点。单击“确定”以应用边界条件。（由于桁架单元没有转动自由度，因此“固定”边界条件在此情况中也适用）。
  9. 选择位于弹簧顶部的顶点（“选择”“形状”“点或矩形”和“选择”“选择”“顶点”），单击鼠标右键，然后选择“添加”“节点边界条件”。弹簧可以在轴向 (Z) 上自由移动，但不可以偏离该轴。激活 Tx 和 Ty 的复选框。单击“确定”以应用边界条件。
  10. 在顶部顶点仍处于选定状态下，添加结构的质量。单击鼠标右键，然后选择“添加”“节点集中质量”。请确保“质量单位”选项处于选中状态，并输入值 225 作为“X 方向”质量（单位为千克）。（应选中“均布”复选框以使质量在所有三个方向上平等作用。）单击“确定”应用集中质量。
  11. 如图所示，模型仅有一个只能在一个方向（Z 平动）上移动的节点，此时存在一个自由度。暂时不再往下探讨，此模型太小而无法在 FEA 中求解！模型需要更多自由度（或方程）才能进行求解。因此，请选择直线（“选择”“形状”“点 或矩形”和“选择”“选择”“直线”），然后将其分割为四个部分（“绘制”“修改”“分割” 4“确定”）。这将创建三个新节点以供求解器使用，接下来需要约束这些新节点使其仅在轴向移动。在顶点周围拖出一个框将其选中（“选择”“形状”“矩形”和“选择”“选择”“节点”），单击鼠标右键，然后选择“添加”“节点边界条件”。请注意，对话框窗口的标题栏指示正在创建三个节点边界条件对象。选中 Tx 和 Ty 复选框。单击“确定”以应用边界条件。
  1. 运行模态分析前的最后一步是为模式数和频率数设置分析参数。选择“设置”“模型设置”“参数”，然后为“要计算的频率/模式数”输入 1。单击“确定”。（由于创建的模型具有 1 个自由度，因此仅需计算一个频率。）

步骤 1：执行固有频率分析

  1. 使用“分析”“分析”“运行仿真”命令运行分析。分析完成后，该模型将显示在“结果”环境中。请记住固有频率为 1.985 个周期/秒。

步骤 2：执行频率响应分析

  1. 返回“FEA 编辑器”选项卡。
  2. 若要计算因基座振动产生的稳态变形，请将“分析类型”设置为“频率响应”（“分析”“更改”“类型”“线性”“频率响应”）。当系统提示将模型复制到新设计工况时，请单击“是”。固有频率结果将包含在“设计工况 1”中，频率响应结果将包含在“设计工况 2”中，可通过选择设计工况快速访问这两个结果。
  3. 对于此分析类型，所有输入均通过“分析参数”输入。选择“设置”“模型设置”“参数”，然后单击“分析设置”。（“输出控件”下的选项仅用于获取其他文本类输出，因此通常不需要激活这些选项。）在四个选项卡中输入载荷的完整定义。各个选项卡中的输入可总结如下：
    1. 可在“激励节点”选项卡中指定一个或多个载荷的位置，但载荷频率和振幅不在此选项卡上指定，而是通过指定“激励频率定义索引”将位置链接到受迫振动频率。（在某些情况下，最好先填写其他选项卡，最后填写“激励节点”选项卡。）
    2. 激励频率将在“激励频率”选项卡中指定，但是载荷的振幅不在此选项卡上指定。因此，如果近似处理正弦扫描测试，则需要在此选项卡上输入具有不同受迫振动频率（从最小频率到最大频率，步长 f）的多个行。
    3. 模型的阻尼在“阻尼比”选项卡中输入。此表将在每个激励频率处插值，以确定每个受迫振动频率处的阻尼比。因此，此表中的频率不需要复制激励频率表，但是需要覆盖整个激励频率范围。
    4. 应用载荷的振幅在“振幅”选项卡中输入。此表将在每个激励频率处插值，以确定每个受迫振动频率处的正弦载荷振幅。因此，此表中的频率不需要复制激励频率表，但是需要覆盖整个激励频率范围。
  4. 由于“频率响应”分析使用模态分析中的结果，因此请在“使用设计场景中的模态结果”字段中输入 1。
  5. “激励节点”选项卡用于定义模型中存在正弦载荷的位置。为此示例设置以下值：
    1. 在“节点编号”部分中选择选项“基础加速度运动”以指明将振动基座支架。
    2. 由于载荷将为基础加速度，因此“激励类型”必须为“加速度输入”，而不是“力输入”。
    3. 在“激励的方向”部分中选择选项“Z 方向”作为基座的振动方向。模型中被限制在 Z 方向上的节点将被视为与基座相连，从而将一起进行振动。
    4. 为“振幅比例因子”输入 1。此值用于缩放应用载荷。
  6. “激励频率”选项卡用于定义模型的振动频率。对于此示例，只需在表中输入一个频率：1.985 Hz。
  7. “阻尼比”选项卡用于定义阻尼比与频率的函数关系。如果仅在表中输入一行，则所有受迫振动频率的阻尼将相同。因此，分别输入 1 Hz 和 0.188 作为频率和阻尼比（根据问题陈述中给出内容）。
  8. “振幅”选项卡用于定义应用载荷的振幅（加速度或力）与频率的函数关系。此模型使用基础加速度，而问题陈述会给出基础运动的振幅。因此，要获得加速度，只需利用位移的二阶导数 (y = 0.280*sin(ωt)) 得到加速度方程 (ay = -0.280*ω2*sin(ωt)) 即可。因此，计算得出的加速度大小 = (0.280 cm)*[(1.985 个周期/秒)*(2*pi 弧度/周期)]2 = 43.55 cm/s2。该界面使用的加速度单位为 G，因此用加速度大小除以重力常数即得到 (43.55 cm/s2)/(981 cm/s2) = 0.0444 G。对于所有应用频率范围内的恒定载荷，请输入一行，如 “频率”= 1 和“加速度”= 0.0444。（由于未向模型施加任何力，因此可留空“力”列。）
  9. 单击“确定”两次以应用分析参数。
  10. 使用“分析”“分析”“运行仿真”命令运行分析。分析完成后，该模型将显示在“结果”环境中。
  11. 给出的位移结果是相对位移。（注意基座的位移显示为 0，而不是输入的振幅 0.280 cm。）由于模型在除 Z 方向之外的所有方向上均受到约束，因此位移大小结果值与 Z 位移结果相同，但出于演示目的，最好查看 Z 位移结果。请使用“结果等值线”“位移”Z 命令。
  12. “频率响应”分析结果针对相内、相外和 SRSS 结果给出。使用“结果选项”“具体分析”“响应类型”下拉菜单查看每种类型。由于在此示例中相内分量几乎为零，因此相外和 SRSS 相同。质量相对于基座最多移动 0.745 cm。
  13. 可如下计算质量的绝对位移。（请参见图 1 中的项。x、y、z 是时间为 t 时的绝对位置，X、Y、Z 是整个周期内的最大值或最大振幅。） 
    Relative displacement z               =  x - y
Absolute displacement x               =  z + y
The motion of the base is given as y  =  Y*sin(ωt)
and the relative displacement z       =  Z*sin(ωt-φ), where φ is the phase angle.

Thus, x                               =  Z*sin(ωt-φ) + Y*sin(ωt)

    在“频率响应”总结文件（可通过“报告”环境访问）中，计算得出的相位角应为 90 度（请参见下文），因此 

    x  =   Z*sin(ωt-φ) + Y*sin(ωt)
   =   Z*sin(ωt-90) + Y*sin(ωt)
   =  -Z*cos(ωt) + Y*sin(ωt)

由于存在相位差，因此 x 的最大位移（表示为 X）不等于 Y + Z。但是，可以看出最后一个方程的替换形式为 x = X*sin(ωt + φ)，其中值 X = sqrt(Z2 + Y2)，φ 为相位角。因此，当 Z = 0.745 cm 且 Y = 0.280 cm 时，质量的绝对位移为 0.796 cm。

“频率响应”总结文件中的摘录： 

 START OF LOAD 1
 Applied frequency case #  1  (Applied frequency = 1.985E+00 Hx)
 Mode No.                  Phase Angel (Deg.)     Amplitude
 1                         8.9934E+01             1.1172E+00

步骤 3：执行“时间历史记录”分析：

  1. 返回“FEA 编辑器”选项卡（“工具”“环境”“FEA 编辑器”）。
  2. 若要计算因基座振动产生的瞬态变形，请将“分析类型”设置为“瞬态应力”（“分析”“更改”“类型”“线性”“瞬态应力(模态叠加)”）。当系统提示将模型复制到新设计工况时，请单击“是”。因此，瞬态应力结果将包含在“设计工况 3”中。
  3. 与之前一样，请在“分析参数”下定义基础运动（ “设置”“模型设置”“参数” ）。
  4. 从静止状态变为准稳态条件需要的周期数是未知的。如果假设将需要 10 个周期，则 5 秒的持续时间应该足够。[= (10 个周期)/(2 个周期/秒)]。若要在一个正弦周期内准确捕获结果，请尝试将周期分割成 50 步。这样每个时间步的大小为 1/[(2 个周期/秒)*(50 步/周期)] = 0.01 秒。输入 500 作为“时间步数”，0.01 作为“时间步大小”。
  5. 定义基础运动的载荷曲线；单击“载荷曲线”。需要填充“时间”和“因子”的载荷曲线表，其中因子是基础加速度（以 cm/s2 为单位）。在之前的计算中，基础加速度大小为 43.55 cm/s2，因此基础加速度的方程为 (43.55 cm/s2)*sin(1.985 Hz * (2pi 弧度/周期) * 时间)。如果不想为每个时间步键入值，则可以使用电子表格执行计算，然后将其保存为逗号分隔值 (CSV) 文件，并将其导入载荷曲线。此方法用于创建位于 Autodesk Simulation 安装文件夹的“模型”子文件夹下的文件。因此在“载荷曲线输入”对话框中单击“导入”。单击“浏览”，选择文件 43.55sine.csv，然后单击“打开”。随即显示文件内容。由于第一行是用于标识数据的标签，因此输入 1 作为“跳过前 _ 行”的值。单击“导入”完成该过程。随即将显示正弦荷载曲线。单击“确定”关闭“载荷曲线输入”对话框。
  6. 按照问题陈述输入 0.188 作为“阻尼系数(临界分数)”。
  7. 由于此示例使用基础加速度，因此可以忽略“载荷”选项卡（用于应用节点载荷），而在“选项”选项卡中，将“地面运动类型”设置为“平动”。
  8. 单击“设置”指定基础运动的参数。即将“Z 方向”的“载荷曲线”设置为“载荷曲线 1”，并将“加速度大小”设置为 1 cm/s2。（之所以将加速度大小设置为 1 是因为载荷曲线会给出完整幅值。）单击“确定”，关闭“基础运动设置”对话框。
  9. 由于“瞬态应力”分析使用模态分析中的结果，因此请在“使用设计场景中的模态结果”字段中输入 1。
  10. 单击“确定”，关闭“分析参数”，模型即已准备就绪可进行分析。单击“分析”“分析”“运行仿真”。
  11. 分析完成后，该模型将显示在“结果”环境中。注意结果的 500 个时间步可供查看：一个时间步对应于一个计算步骤。若不想一次查看一个时间步结果，则可以绘制结果。
  12. 请将“结果类型”设置为“Z 位移”（“结果等值线”“位移” Z）。
  13. 选择集中质量处的节点（“选择”“形状”“点或矩形”和“选择”“选择”“节点”，然后单击模型顶部的节点）。单击鼠标右键，然后选择“图形表示值”。此时将另外创建一个带图形的演示窗口。结果应类似于图 2。在大约 5 个周期后达到准稳态条件。直观结果显示相对于支架的质量预期位移大约为 0.75 cm。
  14. 通过在树视图中单击等值线窗口“演示 1 <未命名>”返回该窗口。接近 4 秒的时间步应接近最大位移，可以以此着手检查位移的实际值。使用“结果等值线”“荷载工况选项”“载荷工况”“设置”并输入值 400，然后单击“确定”。前进或后退几个时间步（“结果等值线”“荷载工况选项”“下一个”或“上一个”），直到找到具有最大位移的时间步。时间步 403 的位移为 0.742 cm。

图 2：质量的位移图。

模型和结果存档 (ground motion.ach) 位于 Autodesk Simulation 安装目录的“模型”子文件夹中。

此示例可以使用许多振动教科书中的方法求解。此特定示例排列在《振动分析》（作者 Vierck, Robert K.，出版社 Harper & Row）第二版的第 129-130 页中的示例 4-9 之后。

父主题： 线性和动态应力