平衡方法

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在非线性有限元分析中,大多数迭代求解方案基于某种形式的著名牛顿-拉弗森法迭代算法。详细的牛顿-拉弗森法方案说明可在多种参考资料中查找,包括 Hinton、Oden 和 Stricklin。还建议用户参阅由 Constantine C. Spyrakos 和 John Raftoyiannis 编写的《工程实践中的线性和非线性有限元分析》(Linear and Nonlinear Finite Element Analysis in Engineering Practice) 中的第 11.5 部分(第 449-452 页),了解有关迭代求解方案的更多说明。

有许多非线性迭代求解方法可用。(执行 Riks 法分析将设置迭代求解方法。)所有方法都基于牛顿-拉弗森法迭代方案。从“非线性迭代求解方法”下拉框中显示的以下方法中选择:

下面将详细介绍这些方法。

组合牛顿法(组合完全/修正牛顿-拉弗森法)

组合完全/修正牛顿-拉弗森法介于完全牛顿-拉弗森法和修正牛顿-拉弗森法之间,且设计用于先前对现有结构有一定的了解或对非线性结构行为具有深入了解的用户。您可以指定可能最适合您的问题的特定迭代方案。完全牛顿-拉弗森法和修正牛顿-拉弗森法是此方法的特殊情况。组合完全/修正牛顿-拉弗森法的默认方案是每个有效刚度矩阵重组两个右侧有效载荷矢量更新。

最新求解方法允许分析为涉及运动的问题实现收敛求解。此求解方法会抑制常见收敛问题(如高频率),因为它们只是求解内的噪声。

完全牛顿法 1(完全牛顿-拉弗森法)

完全牛顿-拉弗森法迭代求解方案(或切向刚度矩阵方法)是所有方案的基本形式。在此求解方案中,有效刚度矩阵和系统有效载荷矢量的右侧将针对所有时间/载荷步中的每个平衡迭代执行重组或更新。这种方法的优势在于,它通常对非线性问题更有效,且会根据迭代次数进行二次收敛。由于通常非线性分析的平衡迭代的主要成本在于有效切向刚度矩阵的构造和因式分解,因此完全牛顿-拉弗森法方案反过来在求解时间方面可能更昂贵,特别是对于大规模问题。

完全牛顿法 2

完全牛顿法 2 是完全牛顿法 1 和 BFGS 求解方法的混合。

BFGS 方法是一种拟牛顿求解方法,如下面列出的参考文献中所述。

当选中“完全牛顿法 2”选项时,通常会使用 BFGS 方法。以下两种情况为例外,为它们使用完全牛顿法 1 方法:

参考文献:

修正牛顿法(修正牛顿-拉弗森法)

修正牛顿-拉弗森法迭代求解方案是一种介于为所有时间/载荷步内的每个平衡迭代重组有效刚度矩阵的切向刚度矩阵方法(完全牛顿-拉弗森法),和仅对有效刚度矩阵构造和因式分解一次的初始刚度矩阵方法(初始应力方法)之间的方法。修正牛顿-拉弗森方法仅为每个时间步内的第一次平衡迭代执行有效刚度矩阵的重组,其余迭代将仅涉及更新右侧有效载荷矢量。

由于修正牛顿-拉弗森法涉及更少的有效刚度矩阵重组和因式分解,因此修正牛顿-拉弗森法的每迭代计算成本通常远远小于完全牛顿-拉弗森法。我们已经发现,对于轻度或中等非线性问题(例如,平稳的材料属性或载荷条件更改),修正牛顿-拉弗森法通常更有效。但是,对于强非线性问题(例如,材料属性或载荷条件突然更改),此方法收敛的速度可能会非常缓慢,甚至会发散。

线性搜索

所有求解方案都具有包括线性搜索的选项。除“完全牛顿法 2”外,还可以从可用求解方法中排除线性搜索。

线性搜索通常有助于稳定迭代方案。这对于涉及由于快速材料属性和/或几何配置更改导致的结构刚度快速更改的问题尤其有用。在这种情况下,线性搜索通常可以加速迭代过程,且有时还提供没有线性搜索无法获取任何内容的收敛。线性搜索方案背后的基本理念如下:在每个平衡迭代过程中,牛顿-拉弗森法为新的可能的求解生成搜索方向,而线性搜索方案用于在该方向寻找最大程度地降低不平衡力误差的求解。线性搜索的收敛容差可以在“线性搜索收敛容差”字段中指定。此值应介于 0.4 至 0.6 之间。

迭代求解方案的选择

与线性问题不同的是,在非线性分析中,没有适合所有类型的问题的求解方案。可根据现有问题的非线性程度为特定问题更适当地选择迭代方案选项。具有强材料和几何非线性响应的问题通常需要更频繁的矩阵重组。修正牛顿-拉弗森方法通常对于具有平稳的材料属性和/或几何配置更改的问题更有效,而完全牛顿-拉弗森方法尽管在每次迭代的数值成本方面更昂贵,但通常对于强非线性问题比修正牛顿-拉弗森方法更有效。线性搜索方案可帮助迭代过程在敏感时间/载荷级别收敛,但会增加每次迭代的计算成本。对于先前对现有结构的行为没有任何了解的非线性分析,建议采用以下步骤:

  1. 以仅材料非线性分析类型和线性材料模型开始分析,如恒定材料属性。如果可用于分析的材料模型为非线性,则使用源自材料模型/曲线的初始值作为恒定材料属性。线性分析结果可能不仅有助于检查系统的几何、载荷和边界条件是否已正确设置或施加,也可提供一些有关结构的初始响应或行为的有用信息,因为对较小位移,所有结构均表现为线性。线性分析的位移结果也可以为选择用于持续非线性分析的合理时间/载荷步增量提供一种标准。
  2. 如果原始材料模型是非线性的,则使用仅材料非线性分析类型执行分析。此分析的结果可帮助进一步了解结构响应的行为和识别某些敏感时间/载荷级别。此外,此分析的结果与较大位移分析的结果比较将指示对象是否已进入较大位移状态。对于较小位移状态结构,所有三种分析类型的结果都应差不多相同。三种分析类型的结果开始显著偏离彼此的时间/载荷级别表示结构已进入较大位移状态。
  3. 根据从 (1) 和 (2) 中获得的了解,可以执行具有“完全拉格朗日”或“更新拉格朗日”分析类型的分析。如果使用自动时间步选项,则时间/载荷步增量必须适当地小以表示对象在加载过程中的材料属性和/或几何配置更改。如果使用多个时间步选项,则可以为不同时间/载荷分区指定不同的时间/载荷步和其他参数。对于那些可能发生快速材料属性和几何更改的时间/载荷分区,通常需要更小的时间步,更频繁的矩阵重组以及线性搜索。在某些关键时间/载荷级别(如,分支或坍塌时间/载荷级别)上,可能需要避免执行矩阵重组和/或平衡迭代,或放宽这些时间/载荷级别附近的容差以观察对象屈曲/坍塌前或后的行为。