Informacje o definicjach krzywej przejściowej

W relacji do innych stycznych i łuków każda krzywa przejściowa jest łukiem do wewnątrz albo łukiem na zewnątrz.

Dwoma najczęściej stosowanymi przez inżynierów parametrami podczas projektowania i określania krzywych przejściowych są L (długość krzywej przejściowej) i R. Parametr R odnosi się do promienia krzywizny na jednym końcu krzywej przejściowej. R₁ i R₂ mogą służyć do rozróżnienia promienia na początku i na końcu krzywej przejściowej.

Poniższa ilustracja przedstawia różne parametry krzywych przejściowych:

Parametr krzywej przejściowej	Opis
R₁	Promień krzywej 1.
R₂	Promień krzywej 2.
SS	Położenie początkowe krzywej przejściowej.
SE	Końcowe położenie krzywej przejściowej.
SP	Punkt krzywej przejściowej na długości łuku l.
Θ	Centralny kąt w punkcie krzywej przejściowej na długości łuku l.
l	Długość łuku od położenia początkowego krzywej przejściowej wzdłuż krzywej przejściowej.
L	Całkowita długość łuku krzywej przejściowej między początkowym i końcowym położeniem krzywej przejściowej.

Złożona krzywa przejściowa

Złożone krzywe przejściowe umożliwiają przejście między dwoma łukami kołowymi o różnych promieniach. Wyróżniamy dwa rodzaje krzywych przejściowych: proste i złożone. Złożona krzywa przejściowa składa się z dwóch prostych krzywych przejściowych. Składa się z dwóch odcinków, z których każdy jest prostą krzywą złożoną, łączącą się stycznie w sposób ciągły z przyległą krzywą przejściową. Umożliwia to zachowanie ciągłości funkcji krzywizny i stanowi sposób gładkiej przechyłki przejścia przed łukiem.

klotoida

Program Autodesk Civil 3D obsługuje kilka typów krzywych przejściowych; klotoida jest najczęściej stosowanym typem krzywej przejściowej. Klotoida jest stosowana na całym świecie w projektach autostrad i linii kolejowych.

Zbadana po raz pierwszy przez szwajcarskiego matematyka Leonarda Eulera, funkcja krzywizny klotoidy to funkcja liniowa, której krzywizna w miejscu zetknięcia ze styczną wynosi zero (0), w funkcji długości. Następnie krzywizna rośnie liniowo, aż do zrównania z sąsiednim łukiem w punkcie zetknięcia krzywej przejściowej i łuku.

Inaczej niż w przypadku krzywej prostej, zachowana jest także ciągłość krzywizny lokalnej, co staje się szczególnie ważne przy wyższych prędkościach.

Wzór

Klotoidy można wyrazić następującymi wzorami:

Gdzie:

Θ= centralny kąt w punkcie krzywej przejściowej na długości łuku l.
l = długość łuku wzdłuż krzywej.

Zobacz powyższy diagram.

Płaskość krzywej przejściowej:

Całkowity kąt wyznaczony przez krzywą przejściową:

Długość stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Styczna-Krzywa przejściowa:

Odległość odsunięcia łuku stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Krzywa przejściowa-Łuk:

Krzywa Blossa

Zamiast klotoidy jako przejście można zastosować krzywą Blossa. Krzywa przejściowa ma przewagę nad klotoidą, ponieważ przesunięcie P jest mniejsze i dlatego przejście jest dłuższe, przy większym przedłużeniu (K) krzywej przejściowej. Ten czynnik ma znaczenie w projektach kolejowych.

Wzór

Krzywą Blossa można wyrazić następującym wzorem:

Inne wyrażenia:

Długość stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Styczna-Krzywa przejściowa:

Odległość odsunięcia łuku stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Krzywa przejściowa-Łuk:

Krzywe sinusoidalne

Krzywe sinusoidalne przedstawiają stały przebieg zakrzywienia i można je stosować do przejść ugięć stycznych z przedziału od 0 do 90 stopni. Krzywe sinusoidalne nie są jednak powszechnie stosowane, ponieważ są one bardziej strome niż krzywe „rzeczywiste”, i z tego względu są też trudniejsze do ujęcia w tabele oraz do kontrolowania.

Wzór

Krzywe sinusoidalne można wyrazić następującym wzorem:

Gdzie:

Θ= centralny kąt w punkcie krzywej przejściowej na długości łuku i.
l = długość łuku wzdłuż krzywej.

Zobacz powyższy diagram.

Gdzie r stanowi promień krzywizny w danym punkcie.

Łuk styczny w postaci połowy sinusoidy zanikającej

Ten rodzaj równania jest często stosowany w projektach linii kolejowych w Japonii. Łuk jest bardzo użyteczny, jeśli konieczne jest wydajne przejście krzywizny dla małych kątów odchyleń (w odniesieniu do dynamiki pojazdu).

Wzór

Łuki styczne w postaci połowy sinusoidy zanikającej mogą być wyrażane następującymi wzorami:

Gdzie i x stanowią odległość od początku do dowolnego punktu na łuku, mierzoną wzdłuż (rozszerzonej) stycznej początkowej; X stanowi sumaryczną wartość X na końcu krzywej przejściowej.

Inne wyrażenia:

Długość stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Styczna-Krzywa przejściowa:

Odległość odsunięcia łuku stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Krzywa przejściowa-Łuk:

Parabole sześcienne

Parabole sześcienne zbiegają się mniej gwałtownie niż krzywe sześcienne, dzięki czemu są często stosowane w projektowaniu linii kolejowych i autostrad.

Wzór

Promień minimalny paraboli sześciennej

W dowolnym punkcie paraboli sześciennej promień wynosi:

Gdzie Θ= centralny kąt w punkcie krzywej przejściowej na długości łuku .

Zobacz powyższy diagram.

Parabola sześcienna osiąga min. r w:

Więc

Promień paraboli sześciennej zmniejsza się od nieskończoności do przy kącie 24 stopnie 5 minut 41 sekund i od tego miejsca zaczyna ponownie rosnąć. Z tego względu parabole sześcienne są bezużyteczne przy zakrzywieniach większych niż 24 stopnie.

Sześcienna (JP)

Przejście to zostało opracowane z myślą o wymaganiach inżynierów w Japonii. Utworzono określoną liczbę aproksymacji klotoidy przeznaczonych do stosowania w sytuacjach z małym kątem ugięcia lub dużym promieniem. Jedna z tych aproksymacji, stosowana w Japonii, to sześcienna (JP).

Wzór

Sześcienna (JP) jest definiowana wzorem:

Gdzie X = długość stycznej od punktu styczna-krzywa przejściowa w punkcie krzywa przejściowa-łuk

Ten wzór można również wyrazić w następujący sposób:

Gdzie jest środkowym kątem krzywej przejściowej (i1 oraz i2 na rysunku)

Inne wyrażenia:

Długość stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Styczna-Krzywa przejściowa:

Odległość odsunięcia łuku stycznej od punktu Styczna-Łuk w punkcie Krzywa przejściowa-Łuk:

Parabola sześcienna NSW

Jest to zmodyfikowana parabola sześcienna spełniająca wymagania normy Nowa Południowa Walia (Australia).

Wzór

Parabolę sześcienną NSW można wyrazić jako:

Gdzie:

Φ = kąt pomiędzy końcową linią promieniową w R i linią prostopadłą do stycznej początkowej
R = promień krzywej
X_c = całkowita wartość X danej krzywej przejściowej
Y_c = całkowita wartość Y danej krzywej przejściowej

Krzywe przejściowe czwartego stopnia (krzywe przejściowe Schramma)

Krzywe przejściowe czwartego stopnia (krzywe przejściowe Schramma) mają niewielkie wartości przyspieszenia pionowego. Zawierają one dwie parabole drugiego stopnia, których promienie zmieniają się wraz z funkcją długości krzywej (l).

Wzór krzywej prostej

Krzywizna pierwszej paraboli:

dla