静态应力理论背景

1678 年，Robert Hooke 发表了 Hooke 定律奠定了现代有限元应力分析的基础。弹性体将根据作用的力（或应力）按照一定比例拉伸或压缩。数学表达式为：

F = kx

• F = 力
• k = 比例常量，称为刚度
• x = 拉伸或压缩的距离

Hooke 通过使用重物来拉伸悬挂在天花板上的金属丝来证明该表达式。

假设在桌子上放着一个咖啡杯。它可以分解为 2,000 个小的四面体元素。每个元素都具有八个角点或节点。咖啡杯底部的所有节点是固定的（所有平动受到约束），因此无法移动。仅按住咖啡杯顶部附近的一个节点。

因为所有材料都有点弹性，所以该节点会移动一点点。F = kx 说明了除该方向上的其他元素外该元素的移动。事实上，当力通过第一个元素传递时，它将传播到其他节点。

在有限元方法中，存在单元刚度公式步骤。刚度 (k) 是为了体现每个元素上各节点之间的关系。每个节点通过一个弹簧连接到元素上的其他节点。它的行为符合 Hooke 定律。我们将咖啡杯简化为一个大的弹簧系统。通过公式 F = kx 来确定每个节点的平动 (x) 和力 (F) 的值。

各个方程式组成一个矩阵，并通过多种数值方法同时求解。结果是模型内的相对节点位移、位移所表示的材料应变以及产生的应力。

由于每个节点处的力以及所有元素的几何形状和刚度都是已知的，因此可以确定应力。然后，原始应力数据将解析为以下值来帮助评估结果：

• 六个应力张量：三个法向和三个剪切应力分量，基于全局轴方向
• 组合或等效应力：
  • 第一主应力（最大正值，或拉伸，主应力值）
  • 第三主应力（最小负值，或压缩，主应力值）
  • Mises 等效应力：始终为正值的等效应力大小。将此应力与屈服强度进行比较是用于预测韧性材料失效的常用措施。