Theoretischer Hintergrund zur statischen Spannung

1678 legte Robert Hooke die Grundlage für die moderne Belastungsanalyse endlicher Elemente, das nach ihm benannte Hooke-Gesetz. Ein elastischer Körper wird proportional zur darauf wirkenden Kraft (Spannung) gedehnt oder komprimiert. Mathematisch gesprochen ist:

F=kx

• F = Kraft
• k = proportionale Konstante namens Steifigkeit
• x = Verlängerungs- oder Komprimierungsabstand

Hooke bewies die Gleichung durch die Verwendung von Gewichten zum Dehnen von Drähten, die von der Decke hingen.

Stellen Sie sich eine Tasse Kaffee auf einem Tisch vor. Sie zerfällt in 2.000 kleine Tetraederelemente. Jedes Element verfügt über vier Eckpunkte oder Knoten. Alle Knoten auf der Unterseite der Kaffeetasse sind fixiert (alle Translationen sind abhängig), damit sie sich nicht bewegen. Drücken Sie auf nur einen Knoten in der Nähe der Tasse.

Dieser eine Knoten bewegt sich ein wenig, da alle Materialien einen gewissen Grad an Elastizität aufweisen. F = kx beschreibt die Bewegung für das Element mit der Ausnahme, dass andere Elemente im Weg sind. Wenn die Kraft durch das erste Element übertragen wird, wird sie auch auf andere Knoten übertragen.

Bei der Finite-Elemente-Methode gibt es einen Schritt mit der Bezeichnung Elementsteifigkeitsbildung. Eine Steifigkeit (k) wird für die Beziehung zwischen den Knoten in jedem Element erstellt. Jeder Knoten ist mit jedem anderen Knoten im Element über eine Feder verbunden. Hierbei gilt das Hookesche Gesetz. Wir reduzieren die Kaffeetasse zu einem großen System von Federn. Ein Wert für die Translation (x) und Kraft (F) wird für jeden Knoten durch die Formel F = kx bestimmt.

Die einzelnen Gleichungen werden in einer Matrix zusammengestellt und mithilfe verschiedener numerischer Methoden gleichzeitig gelöst. Die Ergebnisse sind die relativen Knotenverschiebungen im gesamten Modell, die Materialdehnung, die die Verschiebungen darstellen, und die resultierende Spannung.

Die Spannung kann bestimmt werden, weil die Kraft an jedem Knoten und die Geometrie sowie die Steifigkeit für alle Elemente bekannt sind. Für die Bewertung der Ergebnisse werden die unformatierten Spannungsdaten dann gelöst, sodass sich die folgenden Werte ergeben:

• Sechs Spannungstensoren: Drei normale und drei Scherspannungs-Komponenten, basierend auf den globalen Achsenrichtungen
• Kombinierte oder Vergleichsspannungen:
  • Erste Hauptspannung (der positivste Hauptspannungswert, Zugspannung)
  • Dritte Hauptspannung (der negativste Hauptspannungswert, Druckspannung)
  • Von-Mises-Spannung: eine Vergleichsspannungsgröße, die immer positiv ist. Der Vergleich dieser Spannung mit der Streckgrenze ist eine gängige Methode, um das Versagen von verformbaren Materialien vorherzusagen.