Solveurs disponibles dans Robot

On résout les ensembles d'équations linéaires à l'aide des méthodes suivantes.

Méthode frontale

• Utilisation de la mémoire : faible
• Utilisation du disque : importante
• Vitesse estimée : lente
• Application : jusqu'à 50 000 équations, statiques linéaires et non-linéaires ouvrages de statique, analyse harmonique.
• Limites d'analyse disponibles : s/o
• Remarques supplémentaires : la méthode permet souvent de trouver les nœuds et les degrés de relâchement d'équations causant des problèmes de calcul, par exemple des structures aux restrictions incorrectes.

On applique l'élimination de Gauss à la factorisation de la matrice K = L * U pendant la résolution de l'ensemble d'équation linéaire Kx = b. Cette méthode est basée sur l'agrégation de la matrice, élément par élément et sur l'élimination simultanée d'équations entièrement assemblées ^{1, 2} . Nele est le nombre d'éléments finis. Ke est la matrice d'éléments correspondante.

La méthode frontale n'exige pas de matrice complètement assemblée. Un assemblage dense (frontal) constitué d'équations entièrement assemblées (frontales hautes) et d'équations partiellement assemblées (frontales basses) longe la matrice. Les équations décomposées présentent la matrice supérieure du triangle U et sont stockées dans la mémoire secondaire dès l'achèvement de l'élimination correspondante.

La méthode frontale est disponible uniquement si la liste des cas de charge ne contient aucune analyse de valeurs propres (modale et de flambage).

Méthode Skyline

• Utilisation de la mémoire : faible
• Utilisation du disque : importante
• Vitesse estimée : lente
• Application : jusqu'à 50 000 équations. Tous types d'analyses
• Limites d'analyse disponibles : s/o
• Remarques supplémentaires : la méthode permet souvent de trouver les nœuds et les degrés de relâchement d'équations causant des problèmes de calcul, par exemple des structures aux restrictions incorrectes.

La méthode Skyline est basée sur la méthode de Cuthill-McKee ^3,4 , une réorganisation de matrices, et sur la factorisation de Crout [5]. On applique cette méthode pour résoudre un ensemble d'équations linéaires ou un problème de valeurs propres Kφ - λBφ = 0 (analyse modale et du flambement). Si la seconde matrice B est cohérente (analyse modale et matrice ou flambement homogène), on la conserve grâce à la méthode de profil (comme la matrice K). Toutes les matrices homogènes requises pour les différents types d'analyse sont elles aussi conservées par la méthode de profil. Ainsi, une matrice stress-stiffened non linéaire et pour l'analyse du flambage et une matrice dynamique K - λB pour Sturm séquence et harmonique analyse.

On applique la méthode Skyline à tous les types d'analyse.

Les principes suivants s'appliquent si l'option Auto est activée.

• On applique la méthode frontale si une liste de cas de charge n'intègre aucune analyse de valeurs propres. On l'utilise pour les structures sans barres ou composée d'éléments en contrainte plane, de coques ou d'autres éléments solides.
• On applique la méthode Skyline en cas d'analyse de valeurs propres (modale et flambement). Ce cas est différent d'une analyse statique linéaire ou d'une structure comprenant des barres.

Remarque : L'affectation du solveur direct et du solveur itératif doit être explicite dans la boîte de dialogue Préférences de la tâche.

Solveurs directs

• Utilisation de la mémoire : importante
• Utilisation du disque : Moyenne
• Rapidité : moyenne/rapide, selon l'efficacité de la réorganisation.
• Application : de 10 000 à 200 000 équations. Tous types d'analyse, à l'exception de l'analyse modale tenant compte des forces statique.
• Remarques complémentaires : les solveurs directs (SPDS) sont recommandés pour les modèles d'éléments finis en 3D, tels que : bâtiments multi-étages, structures solides et en coques.. Les solveurs, s'ils détectent les structures incorrectes, ne permettent pas de trouver les nœuds et les degrés de relâchement d'équations faisant l'objet d'un problème de calcul. Ils sont particulièrement indiqués pour les structures mal préparées, notamment en cas d'absence de méthodes itératives convergentes.

Les solveurs directs constituent une technique de calcul efficace, basée sur la factorisation de la matrice K = L * U, où l'on trouve beaucoup moins d'éléments de matrice non-nuls que dans le cadre des méthodes frontale et Skyline (méthode de Gauss). Les solveurs directs sont utilisés pour résoudre les problèmes de valeurs propres Kφ - λBφ = 0 ou les ensembles d'équations linéaires ou linéarisés.

Il s'agit en fait d'une réduction par sous-structures successives, avec un emboîtement important sur plusieurs niveaux. La sous-division en sous-structures successives d'une structure source se fait automatiquement. Méthode de dissection emboîtée (MDE) [3] utilisée pour la renumération d'équations.

SparseM est un solveur multifrontal qui s'applique selon la méthode de dissection emboîtée (MDE) et l'algorithme des degrés minimaux (ADM) ³ (voir aussi : Paramètres du solveur itératif SparseM).

En principe, la taille de la matrice supérieure du triangle U (le nombre d'éléments de matrices non nuls) obtenue par solveur direct est de 2 à 15 fois moins importante que la taille de matrice obtenues soit par la méthode frontale, soit par la méthode Skyline. La factorisation de la matrice sera donc de 2 à 15 fois plus rapide. L'efficacité est toujours élevée pour les problèmes non-linéaires nécessitant plusieurs applications de la procédure de factorisation.

L'efficacité de la technique du solveur direct pour résoudre des problèmes de valeurs propres ne s'explique pas seulement par la rapidité de la factorisation de la matrice, mais aussi par la rapidité de la résolution de L * U * x = b et du produit matrice-vecteur, B * x. Ces procédures sont lancées à plusieurs reprises pendant la résolution de problèmes de valeurs propres. La première condition est remplie, en raison de la réduction du nombre d'éléments non-nuls dans la matrice factorisée par rapport à la méthode Skyline. L'implémentation du traitement rapide du produit matrice-vecteur reste importante pour la cohérence de la matrice B (analyse modale avec matrice homogène des masses). On utilise la technique compacte pour calculer rapidement B*x. La matrice B est envoyée dans la mémoire vive (RAM) avec uniquement des entrées non nulles.

Les structures de données appropriées sont développés pour permettre le calcul rapide du produit matrice-vecteur. Si la taille du problème empêche l'attribution de structures de données compactes, la procédure "élément par élément" prend automatiquement le relais. Elle vous évite de stocker l'encombrante matrice B sur le disque et ne tient pas compte des opérations d'E/S lors des calculs de B*x. Les calculs sont ainsi bien rapides par rapport à la technique Skyline.

Les solveurs directs sont une alternative valable aux méthodes itératives mal engagées.

Solveurs itératifs

Voir : Paramètres des solveurs itératifs - Informations générales

FIC itérative

• Utilisation de la mémoire : importante
• Utilisation du disque : Nulle
• Vitesse estimée : Rapide (pour les problèmes bien préparés)
• Application : de 15 000 à 1 000 000 d'équations ou plus, statiques linéaires, analyse modale, flambement.
• Limites d'analyse disponibles : s/o
• Remarques complémentaires : la FIC est recommandée pour les problèmes importants avec peu de côtés droits. L'exactitude des restrictions structurelles n'est pas vérifiée. Pour les problèmes mal préparés, la convergence s'opère toujours lentement.

Itérative diagonale

• Utilisation de la mémoire : Minimale
• Utilisation du disque : Minimale
• Vitesse estimée : lente
• Application : de 15 000 à 1 000 000 d'équations ou plus, statiques linéaires, analyse modale, flambement.
• Limites d'analyse disponibles : s/o
• Remarques complémentaires : l'Itérative diagonale est recommandée pour les problèmes importants avec peu de côtés droits. L'exactitude des restrictions structurelles n'est pas vérifiée. Pour les problèmes mal préparés, la convergence s'opère toujours lentement.

Itérative Gauss-Cholesky

• Utilisation de la mémoire : Minimale
• Utilisation du disque : Minimale
• Vitesse estimée : lente
• Application : de 15 000 à 1 000 000 d'équations ou plus, statiques linéaires, analyse modale, flambement.
• Limites d'analyse disponibles : s/o
• Remarques complémentaires : l'Itérative Gauss-Cholesky est recommandée pour les problèmes importants, comportant peu de côtés droits, ou si la taille de la mémoire vive ne suffit pas pour l'exécution de la méthode FIC. L'exactitude des restrictions structurelles n'est pas vérifiée. La vérification de chaque composant de la matrice s'opère selon la procédure de régularisation Vinget ^6,7 . Pour les problèmes mal préparés, la convergence s'opère toujours lentement.

FIC itérative à plusieurs niveaux

• Utilisation de la mémoire : importante
• Utilisation du disque : Minimale
• Vitesse estimée : Rapide (pour les problèmes bien préparés)
• Application : de 15 000 à 1 000 000 d'équations ou plus, statiques linéaires, analyse modale, flambement.
• Limites d'analyses disponibles : types de structures disponibles : 3D (barre, coque, solide et éléments finis de type spécial), portique 2D.
• Remarques complémentaires : la FIC itérative à plusieurs niveaux est recommandée pour les problèmes importants. En principe, la convergence intervient plus rapidement qu'avec la méthode FIC itérative. Dans certains cas, la convergence est toutefois moins stable. L'exactitude des restrictions structurelles n'est pas vérifiée.

Itérative diagonale à plusieurs niveaux

• Utilisation de la mémoire : Minimale
• Utilisation du disque : Minimale
• Vitesse estimée : lente
• Application : de 15 000 à 1 000 000 d'équations ou plus, statiques linéaires, analyse modale, flambement.
• Limites d'analyses disponibles : types de structures disponibles : 3D (barre, coque, solide et éléments finis de type spécial), portique 2D.
• Remarques complémentaires : cette méthode est beaucoup plus lente que la méthode FIC itérative à plusieurs niveaux. Toutefois, elle requiert beaucoup moins de mémoire vive (RAM). La méthode de lissage nécessite moins d'itérations que la méthode FIC d'itération à plusieurs niveaux. L'exactitude des restrictions structurelles n'est pas vérifiée. La vérification de chaque composant de la matrice s'opère selon la procédure de régularisation Vinget ^6,7 .

Itérative Gauss-Cholesky à plusieurs niveaux

• Utilisation de la mémoire : Minimale
• Utilisation du disque : Minimale
• Vitesse estimée : Moyenne (pour les problèmes bien préparés)
• Application : de 15 000 à 1 000 000 d'équations ou plus, statiques linéaires, analyse modale, flambement.
• Limites d'analyses disponibles : types de structures disponibles : 3D (barre, coque, solide et éléments finis de type spécial), portique 2D.
• Remarques complémentaires : cette méthode est beaucoup plus lente que la méthode FIC itérative à plusieurs niveaux. Toutefois, elle requiert beaucoup moins de mémoire vive (RAM). La méthode de lissage nécessite moins d'itérations que la méthode FIC d'itération à plusieurs niveaux. L'exactitude des restrictions structurelles n'est pas vérifiée. La vérification de chaque composant de la matrice s'opère selon la procédure de régularisation Vinget ^6,7 .

Références

1. Duff I.S., Reid J.K. The multifrontal solution of indefinite sparse symmetric linear equations. ACM Trans. Math. logiciel, 1983, 9, N3, p.633-641.
2. B.Irons, A frontal solution of program for finite element analysis, Int. J. Numer. Methods Engrg. 2 (1970) 5-32.
3. George A., Liu J., Computer solution of large sparse positive definite systems, 1981.
4. Pissanetzky S. Sparse matrix technology, 1984.
5. Hughes T.R.J., Ferencz R.M., Raefsky A.M. The finite element method. DLEARN - A linear static and dynamic finite element analysis program.
6. Hughes T.J.R., Ferencz M. Implicit solution of large-scale contact and impact problems employing an EBE preconditioned iterative solver, IMPACT 87 Int. Conference on Effects of Fast Transient Loading in the Context of Structural Mechanics, Lausanne, Suisse, août 26-27, 1987.
7. Hughes T.J.R., R.M.Ferencz et j.O.Hallquist. Large-scale vectorized implicit calculations in solid mechanics on a CRAY X-MP/48 utilizing EBE preconditioned conjugate gradients, Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg., 61