소변형 응력 해석

소변형 해석은 가장 일반적인 해석 유형이며 대변형과 좌굴 해석의 기반이 됩니다. 다른 해석 유형을 이해하려면 먼저 소변형 해석을 완벽하게 이해하는 것이 중요합니다.

소변형 해석은 종종 선형 해석이라고도 합니다.

가정

소변형 해석은 유연한 바디에 하중을 적용하여 발생하는 변위 및 해당 응력과 변형이 해당 하중 크기의 선형 함수라는 가정을 기반으로 합니다.

이러한 선형성을 얻기 위해 바디가 만들어진 재료는 탄성이며 변위 구배는 모든 위치에서 연관된 지오메트리 변화의 효과를 무시할 만큼 충분히 작다고 가정해야 합니다. 즉, 바디가 물질적으로나 기하학적으로 선형인 것처럼 동작한다고 가정해야 합니다. 결과적으로 지오메트리 변화로 인해 구조의 강성이 현저하게 변경되지 않습니다. 이러한 조건에서 관련 평형 방정식은 다음과 같이 익숙한 형식을 사용합니다.

여기서:

구성 모델

선형 탄성 재료(훅의 법칙을 따르는 재료)의 제한 내에서 동종 재료와 이종 재료를 모두 포함할 수 있습니다. 그러나 현재 사례에서는 쉘 요소(LMT3, LBT3)에 대해 재료가 두께 방향을 기준으로 동종인 것으로 가정합니다. 이 제한을 사용하면 재료 속성이 구조의 점마다 달라질 수 있지만 각 점에는 기본값(즉, 최대값 및 최소값)에서 사용되는 탄성 계수와 관련하여 두 개의 직각 방향이 있게 됩니다. 이러한 방향을 직교 이방성의 방향이라고 하며 연관된 재료 모델은 직교 이방성이라고 합니다.

두 가지 다른 탄성 재료 모델을 사용할 수 있습니다. 첫 번째는 등방성 모델입니다(재료가 무방향이고 동종임). 두 번째는 위에서 설명한 직교 이방성 모델의 특수한 사례로, 기본 계수 값의 점 간 변동이 무시됩니다(재료가 다방향이지만 동종임). 두 번째 모델은 성형 공정 중에 발생하는 분자 배향 효과를 고려하므로 성형된 플라스틱에 적용할 수 있습니다.

경계 조건

경계 조건 적용 전에 평형 방정식은 특이 매트릭스입니다. 즉, 강성 매트릭스 가 양의 값이 아니며 해당 역을 찾을 수 없습니다. 그러나 적절한 변위 경계 조건 세트를 적용하여 강성을 양의 값으로 렌더링할 수 있습니다. 가능한 강체 변위 모드가 모두 제거된 경우 "환산된" 방정식 세트가 확정됩니다. 즉, 가 양의 값이 됩니다. 실제로 유한 요소 모델에 내부 릴리스(예: 핀)가 없고 요소 자체에 스퓨리어스 제로 에너지 모드가 포함되지 않은 경우 허용되는 변위 구속조건 세트는 구조에서 가능한 6가지 강체 이동 각각에 유한(0보다 큼) 저항을 제공하는 세트입니다.

사용 가능한 형식의 변위 구속조건을 범주화하려는 경우 구속된 절점의 각 자유도에 해당하는 이동이 외부(지면에 연결됨) 스프링의 저항을 받는다고 가정하면 유용합니다. 다음은 가장 일반적인 형식의 세 가지 변위 경계 조건입니다.

두 가지 다른 방법으로 강체 구속조건을 처리할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 전체 세트에서 해당 방정식을 제거하면 됩니다. 두 번째 방법은 의 필수 주대각선 계수인 를 나머지 세트에서 구속조건 방정식을 분리할 만큼 충분히 큰 계수인 로 바꾸는 것입니다. 동시에 i번째 성분(힘 벡터 )을 0으로 설정해야 합니다. 두 번째 방법은 i번째 성분( )을 다음과 같이 설정하기만 하면 규정된 변위 사례로 쉽게 확장됩니다.

여기에서 각 항목은 다음과 같습니다. 은 필수 변위입니다. 전체(원본) 방정식 세트를 유지하는 경우의 장점은 구속된 절점에서 반응을 계산하는 데 필요한 정보를 후방 대입 단계 중에 직접 사용할 수 있다는 것입니다.

적용된 하중

일반화된 하중 용어 는 압력, 견인력, 체적력, 초기 변형 또는 초기 응력과 같은 분포 하중 및 절점에 직접 적용된 집중 하중의 효과를 고려하므로 등가 하중 벡터라고 합니다. 이전 사례에서 절점력 시스템은 지정된 분포 하중과 항상 평형 상태임을 확인할 수 있습니다. 단순 요소의 경우 이러한 힘이 적용된 하중과 정적으로 동등(즉, 정적 평형 조건에서만 찾을 수 있음)하지만 다른 사례에서 해당 값을 확인하려면 요소 형식화에 대한 자세한 지식이 필요합니다. 에 대한 분포 하중의 기여도는 해석에서 자동으로 평가됩니다.

소변형 해석 솔루션

경계 조건 및 적용된 하중을 알고 있는 경우 절점 변위 는 다음 방정식을 통해 확인합니다.

실제로 위의 방정식을 해결할 때 를 반전할 필요가 없으며 비효율적입니다. 대신 위의 방정식은 가우스 소거법을 통해 해결합니다.



밴딩된 강성 매트릭스

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(a) 대역폭, (b) 반대역폭, (c) 프로파일, (d) 스카이라인, (e) 밴드 외부에서 모두 0.

강성 매트릭스 에는 가우스 소거법을 매우 효율적으로 만드는 세 가지 속성이 있습니다.

밴딩된 강성 매트릭스는 강성 매트릭스의 모양을 보여줍니다. 대부분 0이 아닌 항과 모두 0인 항 사이의 경계를 스카이라인이라고 합니다. 주대각선과 스카이라인 사이의 계수 세트를 프로파일이라고 합니다. 매트릭스 는 밴딩되고 드물게 나타나기 때문에 프로파일 내에서 소거법만 수행하여 처리 시간이 줄어듭니다. 의 대칭은 계산의 양을 더 줄입니다. 왜냐하면 소거해야 할 부분이 소거법의 모든 단계에서 대칭 상태로 유지되므로 알려진 대칭 항의 계산이 필요하지 않기 때문입니다.

효율성을 최대화하려면 먼저 절점 번호 다시 매기기 구성표를 사용하여 프로파일 내 계수 수를 최소화합니다. 번호 다시 매기기는 사용자에게 완전히 투명합니다. 적용된 대역폭 최적화 알고리즘은 Gibbs, Pool 및 Stockmeyer [1]에서 기인합니다.

해석에 포함된 방정식 수가 너무 커서 가상 메모리의 모든 계수에 맞출 수 없는 경우가 자주 있습니다. 역사적인 이유로 가상 메모리를 "코어"라고 합니다. 이러한 대규모 방정식 시스템을 해결하기 위해 전체 매트릭스가 보조 저장소(일반적으로 하드 디스크 드라이브)에 유지되는 "코어 외부" 솔버가 사용됩니다. 따라서 필요한 경우 전체 매트릭스를 블록으로 분할하고 언제든지 "코어"에 상주하는 두 블록에서만 가우스 소거법을 수행했습니다. 두 번째 블록에 연결 계수가 포함되어 있으면 한 블록이 줄어듭니다. 최소 블록 크기는 의 최대 반대역폭과 동일합니다. 최대 블록 크기는 사출기에 종속되지만 최적의 효율성을 얻는 데 적합한 값은 프로그램에서 자동으로 할당됩니다. 일반적으로 가장 높은 효율성은 최소 수의 큰 블록 사용과 일치합니다.

여러 하중 사례

응력 및 변형 해석은 다른 수축 변형 또는 외부 하중 사례인 하중 사례를 둘 이상 해석에 지정하는 옵션을 제공합니다. 이러한 여러 하중 사례는 구조 강성 매트릭스 가 한 번 공식화된 다음 각 하중 사례에 대해 변위 를 확인하는 데 사용되기 때문에 매우 효율적으로 해결할 수 있습니다. 각 하중 사례는 해석의 결과 파일에 기록된 작업 진행 테이블에 행으로 나타납니다.

해석 출력

변위 필드를 알고 있는 경우 각 요소의 변형-변위 및 응력-변형 관계를 사용하여 요소 내 다양한 위치에서 변형 및 응력 레벨을 확인합니다. FENAS에서 이러한 위치는 요소 강성 매트릭스를 찾기 위해 요소 체적에 대해 통합될 때 사용된 수치 통합 측점과 일치하도록 자동으로 선택됩니다. 수치 구적 측점을 응력/변형 복구 점으로 사용하면 최적이거나 최적에 가깝습니다.

입력 데이터 에코와는 별도로 해석 출력 파일에는 구속되고 초기 변위된 절점, 절점 변위 및 요소 응력의 반응이 포함됩니다.

정의상 이러한 모든 수량은 적용된 하중의 선형 함수이므로 하중이 이등분되면 변위 및 응력도 이등분됩니다. 따라서 결과의 정성 유효성에 영향을 주지 않고 하중의 공칭 강도를 자유롭게 선택할 수 있습니다. 그러나 이 개념을 확장하여 재료 상수의 영향을 포함할 때는 주의해야 합니다. 구조가 외부적으로 로드되면 변형과 변위가 재료 상수에 반비례하지만 응력은 일정하게 유지됩니다. 직교 이방성 재료의 경우 비례를 유지하려면 재료 계수의 비율을 일정하게 유지해야 합니다. 그러나 구속조건이 지정되지 않은 구조가 온도 변화 또는 자유 수축에 의해 발생하는 경우처럼 "내부" 로드되면 응력이 재료의 기계 속성에 비례합니다. 변위는 일정하게 유지됩니다. 마지막으로 내부 및 외부 로드와 관련된 문제의 경우 변위와 응력 모두 재료 계수에 종속됩니다.

결과 해석

첫 번째 소변형 솔루션을 얻은 후 사용하도록 권장되는 절차는 결과가 적합한지 확인하는 것입니다. 이 절차를 수행하는 가장 좋은 방법은 변위 필드를 자세히 살펴보는 것입니다. 이 방법은 그래픽 사후 처리 기능을 사용하여 쉽게 수행할 수 있습니다.

다음과 같은 질문이 필요합니다.

일관된 변위 필드를 얻었고 평균 응력 레벨이 지정된 재료 데이터 및 기타 변수와 관련하여 적합하다는 점에 만족하는 경우 보다 미세한 메쉬를 사용하여 두 번째 해석을 수행해야 할지 여부를 결정해야 합니다. 일반적으로 두 개의 다른 메쉬 밀도에 대한 솔루션이 필요한 이유는 유한 요소 방법을 사용하면 항상 정확한 솔루션이나 완전히 수렴된 솔루션의 근사치만 생성되기 때문입니다. 의미상 두 메쉬에 대한 결과에서 발생하는 변화를 확인하면 정확도의 목표 측정값에만 도달할 수 있습니다.

이 중요한 사항을 자세히 살펴보면, 응력 해석에서는 von-Mises 응력의 예상 최고 레벨에서 95% 이상의 정확도를 달성하려고 하고 두 개의 다른 메쉬에 해당하는 이 응력에 대해 두 개의 값을 얻었다고 가정합니다. 두 메쉬에 대한 응력의 변화가 5%보다 작은 경우 이 점에서 제공하는 수렴이 단조로운 것으로 가정하면(일반적으로 목표 정확도가 대략 95%-100% 범위에 있는 사례) 보다 미세한 메쉬에 대한 목표 정확도를 초과한 것입니다. 반면 변화가 5%보다 크면 훨씬 더 미세한 메쉬를 사용하고 목표에 도달할 때까지 공정을 반복해야 합니다. 두 메쉬에 대한 솔루션만 알고 있고 보다 미세한 메쉬가 테스트를 통과한 경우 보다 거친 메쉬도 통과할지 여부를 알 수가 없습니다. 이 질문에 대답하려면 원래 쌍 중 하나보다 더 거친 세 번째 메쉬를 해석해야 합니다.

이러한 배경과 달리 보다 미세한 두 번째 메쉬 솔루션이 필요하지 않다고 생각되는 상황은 하나만 있어야 합니다. 이러한 상황은 유사한 문제에 대한 이전의 유한 요소 해석을 기반으로 하는 환경이 충분하여 사용한 메쉬가 필요한 정밀도 관점에서 적합하다고 확신할 수 있는 경우입니다.

소변형 해석의 적합성

대변형과 달리 소변형 해석이 본질적으로 중요한 도구인 주요 이유는 세 가지입니다.

참조 문헌

1. Gibbs, N.E., Poole, W.G., and Stockmeyer, P.K., "An algorithm for reducing the bandwidth and profile of a sparse matrix", S.I.A.M. Journal on Numerical Analysis, Vol. 13, No. 2, 1976, pp. 236-250.

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