이 섹션 앞부분에 표시된 편미분 방정식은 디지털로 해석할 수 있는 일련의 대수 방정식으로 이산화 또는 변환할 수 있어야 합니다. 이러한 이산화를 수행하기 위해 다양한 방법을 사용할 수 있습니다. 가장 널리 사용되는 세 가지 방법(사용 가능한 상용 CFD(전산 유체 역학) 코드 수에 따라)은 다음과 같습니다.
유한 차분법에서는 편미분이 급수 전개 표현(일반적으로 Taylor 급수)으로 대치됩니다. 일반적으로 급수는 1개 또는 2개 항 다음에 버려집니다. 더 많은 항을 포함할수록 솔루션이 좀 더 정확해집니다. 그러나 확장에 항이 많을수록 복잡성이 높아지고 솔루션의 불연속 점 또는 노드 수가 크게 늘어납니다. 규칙적인 모양의 형상에 이 방법을 적용하는 것은 간단합니다. 그러나 불규칙한 모양의 형상에서는 Taylor 시리즈를 적용하려면 먼저 방정식을 변환해야 합니다. 이 변환을 통해 추가 교차 결합 방정식의 면에서 모든 종류의 문제(메쉬 생성 및 일반 수렴)가 유발됩니다.
유한 체적법에서는 지배 방정식이 종속 변수(u, v, w, p, T)의 구간 선형 변형을 가정한 체적 또는 셀에 대해 적분됩니다. 다시 구간 선형 변형은 정확도와 복잡성을 결정합니다. 이러한 적분을 사용하여 개별 체적의 경계 간에 플럭스 균형을 맞춥니다. 플럭스는 도메인의 불연속 노드 간 중간점에서 계산됩니다. 따라서 도메인에서 인접하는 모든 노드 사이의 플럭스를 계산해야 합니다. 위상이 규칙적인 메쉬(모든 방향에서 같은 수의 분할)에서 이 플럭스 계산은 매우 간단합니다. 불규칙한 메쉬(자동으로 생성된 4면체 메쉬)에서 이 계산을 수행하면 모든 플럭스를 적절히 계산하기 위해 상당한 양의 플럭스 및 기록 작업이 발생합니다.
유한 요소법에서는 Galerkin 가중 잔차 방법이 일반적으로 사용됩니다. 이 방법에서는 지배 편미분 방정식에 가중치 함수를 곱한 후에 요소 또는 체적에 대해 적분합니다. 종속 변수는 가중치 함수와 동일한 형식을 갖는 형상 함수에 의해 요소에 표현됩니다. 형상 함수는 여러 형식을 가질 수 있습니다. Autodesk® CFD에서는 2D 삼각형 요소에는 선형, 2D 사변형 요소에는 양선형, 3D 4면체 요소에는 선형, 3D 5면체 요소에는 3선형, 3D 5 또는 6면 요소에는 혼합형을 사용합니다. 유한 요소의 주된 이점이자 단점은 대수 방정식의 항에 물리적 의미를 부여하기 어려운 수학적 접근 방식이라는 것입니다. 유한 체적법에서는 유한 요소와 달리 항상 플럭스를 다룹니다. 그러나 모든 기하학적 쉐이프에 유한 요소를 적용하는 것은 동일합니다. 또한 유한 체적법에 대해 추후에 추가되어야 하는 경계 조건은 이산화 방정식의 적분 부분입니다.
아래 표에서는 여러 가지 방법의 장단점이 요약되어 있습니다.
| 방법 | 장점 | 단점 |
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유한 요소 |
1. 더 많은 수학적 요소가 관련됨 2. 자연 경계 조건(플럭스) 3. 마스터 요소 공식화 4. 모든 쉐이프의 형상을 같은 노력으로 모델링할 수 있음 |
1. 더 많은 수학적 요소가 관련됨 - 물리적 의미가 더 작음 |
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유한 체적 및 유한 차분 |
1. 플럭스에 물리적 의미가 더 큼 |
1. 형상의 불규칙성으로 인해 더 많은 노력 필요 |
단순한 형상의 경우 이러한 세 가지 방법 모두 정확히 동일한 솔루션 매트릭스 또는 디지털 표현을 생성하는 것을 보여줄 수 있습니다. 세 가지 방법 모두 유체 흐름 및 열 전달의 지배 방정식에 대해 유사한 이산화 방정식 세트를 생성할 수 있습니다. 비슷한 속도-압력 알고리즘(분리형, 커플링, SIMPLE, SIMPLE-R 등)을 이산화 방법과 함께 사용할 수 있습니다[Autodesk® CFD 작성자는 유한 요소 및 유한 체적 코드 둘 다에서 SIMPLE 변형을 성공적으로 사용함.]
Autodesk® CFD는 유한 요소법이 기하학적 쉐이프 모델링에서 유연하게 작용한다는 이유 때문에 유한 요소 방법을 사용합니다.
유체 흐름의 경우 특별히 고려해야 할 사항이 있습니다. 이 섹션 앞부분에 나온 것처럼 5가지 미지수(u, v, w, p, T)에 대한 5가지 방정식이 있습니다. 그러나 CFD(전산 유체 역학)와 관련된 이러한 방정식에는 두 가지 문제가 있습니다.
먼저, 지배 방정식은 커플링될 뿐 아니라 비선형 항(즉, 대류향 또는 관성항)입니다. 이러한 항의 처리는 적어도 지난 40년 동안 계속된 연구 프로젝트였습니다. 사실, Autodesk® CFD는 이러한 대류항을이산화하는 데 사용하는 방법을 계속해서 다시 평가하고 있습니다. 이러한 항이 충분히 정확하게 모델링되지 않으면 "수치 확산"이라는 오류가 발생합니다. 이름에서 알 수 있듯이, 이 오류는 실제 분산을 완전히 압도하여 실제 문제의 물리학을 잘못 나타낼 수 있습니다. 정확도가 높은 일반적인 방법(중심 차분, 표준 Galerkin 계산법)을 사용하여 대류항을 모델링하는 경우 수치 솔루션이 실질 솔루션을 중심으로 변동을 보이는 수치 확산 오류가 파생됩니다. 이러한 분산 오류가 있는 경우 솔루션이 쉽게 발산될 수 있으며, 이러한 현상은 난류 흐름에서 특히 두드러집니다. 대부분의 상용 유한 체적 및 유한 요소법은 정확성 및 안정성을 타협하는 일부 특수한 방법으로 이러한 항을 이산화합니다. 유한 체적법은 같은 기술을 사용하여 skew-UPWIND 및 QUICK 계산법과 같은 기술을 사용합니다. 성공적인 유한 요소법에서는 일종의 유선 UPWIND 요소를 사용합니다. (그렇습니다. 이 방법을 사용하지 않는 유한 요소 CFD 방법도 사용할 수 있지만 일반적으로는 적용 가능하지 않습니다.) Autodesk® CFD에서는 유선 UPWIND 차분법의 몇 가지 변형을 사용하여 대류항을 모델링합니다.
지배 편미분 방정식의 두 번째 주요 문제점은 비압축성 흐름에 대해 압력에 대한 명시적 방정식이 없다는 것입니다. 예를 들어, Navier-Stokes 또는 운동량 방정식을 사용하여 속도에 대해 해를 구하는 경우 압력에 대해서는 연속 방정식만 남게 됩니다. 그러나 연속 방정식에는 압력이 없습니다. 이 문제는 이러한 방정식의 조합을 활용하여 회피되었습니다. 이러한 압력 방정식 누락 문제를 해결하는 가장 지배적인 방법(상업적으로)이 유한 체적법에 대해 개발되었으며 SIMPLE 또는 변형 방법으로 알려져 있습니다. 이 방법은 Numerical Heat Transfer by Suhas V. Patankar(Hemisphere Publishing, 1980, ISBN 0-89116-522-3)에 잘 설명되어 있습니다. 거의 모든 상업용 유한 체적 CFD 코드는 이 방법을 사용하고, 가장 일반적으로 사용되는 두 가지 유한 요소 CFD 코드도 이 방법을 사용합니다. Albeit은 유한 요소법의 특수한 활용 사례입니다. Autodesk® CFD는 Patankar 서적에 설명된 SIMPLE-R 기법을 기반으로 하는 신뢰할 수 있는 이 압력-속도 알고리즘의 변형을 사용합니다.
초기의 유한 요소 CFD 방법은 고속 흐름을 모델링하는 데 어려움이 있었지만 유한 체적 기법에 대해 성공적으로 입증된 여러 Autodesk® CFD 응용 사례는 고속의 난류 흐름 뿐 아니라 압축성 흐름을 예측하는 강력한 수단을 만들어냈습니다. 이러한 모든 결과는 Galerkin 가중 잔차법을 엄격히 적용함으로써 얻을 수 있었습니다. 따라서 유한 요소에 내재된 기하학적 유연성이 Autodesk® CFD에서 유지되었습니다.
Autodesk® CFD에 사용되는 몇 가지 방법에 대한 보다 자세한 이론적 설명을 보려면 Rita J Schnipke, Ph.D. Dissertation, University of Virginia, 1986(Ann Arbor, Michigan의 University Microfilms www.umi.com을 통해 사용 가능)의 A Streamline Upwind Finite Element Method For Laminar And Turbulent Flow를 참조하십시오.