Die weiter oben in diesem Abschnitt behandelten partiellen Differentialgleichungen müssen diskretisiert oder in einen Satz digital auflösbarer algebraischer Gleichungen transformiert werden. Es gibt verschiedene Methoden zur Durchführung dieser Diskretisierung. Die folgenden drei Methoden sind die gebräuchlichsten (basierend auf der Anzahl der verfügbaren kommerziellen Codes für die numerische Strömungsmechanik (CFD)):
In der Finite-Differenzen-Methode werden partielle Ableitungen durch eine Reihenentwicklungsdarstellung (i. d. R. Taylorreihe) ersetzt. Die Reihe wird normalerweise nach 1 oder 2 Termen gekürzt. Je mehr Terme enthalten sind, umso präziser wird die Lösung. Durch mehr Terme in der Entwicklung nehmen allerdings auch die Komplexität und die Anzahl diskreter Punkte oder Knoten in der Lösung erheblich zu. Die Anwendung dieser Methode auf eine regelmäßig geformte Geometrie ist unkompliziert. Bei unregelmäßig geformten Geometrien müssen die Gleichungen hingegen transformiert werden, bevor die Taylorreihe angewendet werden kann. Diese Transformation führt zu unterschiedlichen Problemen durch zusätzliche Überkoppelungen von Gleichungen sowie bei der Netzerzeugung und der allgemeinen Konvergenz.
Bei der Finite-Volumen-Methode werden die zugrunde liegenden Gleichungen über ein Volumen oder eine Zelle unter Annahme einer stückweisen linearen Verteilung der abhängigen Variablen (u, v, w, p, T) integriert. Durch die stückweise lineare Verteilung wird sowohl die Genauigkeit als auch die Komplexität bestimmt. Durch diese Integration gleichen Sie im Wesentlichen Ströme über die Begrenzungen des einzelnen Volumens aus. Der Strom wird am Mittelpunkt zwischen den diskreten Knoten in der Domäne berechnet. Daher müssen Sie einen Strom zwischen allen benachbarten Knoten in der Domäne berechnen. In einem topologisch regelmäßigen Netz (gleiche Anzahl an Einteilungen in jeder beliebigen Richtung) gestaltet sich die Berechnung dieses Stroms recht einfach. In einem unregelmäßigen Netz (wie bei einem automatisch erzeugten Tetraedernetz) führt diese Berechnung zu einer erheblichen Anzahl von Strömen und einem gewaltigen Verwaltungsaufwand zur Sicherstellung, dass alle Ströme korrekt berechnet wurden.
Bei der Finite-Elemente-Methode findet im Allgemeinen die Galerkin-Methode der gewichteten Residuen Anwendung. Bei dieser Methode werden die zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen nach der Multiplikation anhand einer Gewichtungsfunktion über ein Element oder ein Volumen integriert. Die abhängigen Variablen werden auf dem Element als eine Form-Funktion dargestellt, wobei die Form der Gewichtungsfunktion entspricht. Mit der Form-Funktion können verschiedene Formen beschrieben werden. Autodesk® CFD verwendet lineare Formen für 2D-Dreieckselemente, bilineare Formen für vierseitige 2D-Elemente, lineare Formen für 3D-Tetraederelemente, trilineare Formen für hexaedrische 3D-Elemente und verschiedene Formen für 5- und 6-seitige 3D-Elemente. Der Hauptvorteil und Hauptnachteil finiter Elemente besteht darin, dass es sich um einen mathematischen Ansatz handelt, bei dem den Termen in den algebraischen Gleichungen kaum physische Bedeutung zugemessen werden kann. Bei der Finite-Volumen-Methode haben Sie es stets mit Strömen zu tun, und nicht mit finiten Elementen. Bei jeder geometrischen Form werden die finiten Elemente allerdings auf die gleiche Weise angewendet. Außerdem sind die Randbedingungen, die für Finite-Volumen-Methoden im Nachhinein hinzugefügt werden müssen, integraler Bestandteil der diskretisierten Gleichungen.
In der folgenden Tabelle werden die Vor- und Nachteile der einzelnen Methoden zusammengefasst:
Für einfache Geometrien können Sie sehen, dass alle drei Methoden eine identische Lösungsmatrix oder digitale Darstellung erzeugen. Alle drei Methoden können in ähnlichen Sätzen von diskretisierten Gleichungen für die zugrunde liegenden Gleichungen für Fluidströmungen und Wärmeübertragung resultieren. Sie können ähnliche Geschwindigkeits-Druck-Algorithmen (sequenziell, gekoppelt, SIMPLE, SIMPLE-R usw.) mit einer beliebigen Diskretisierungsmethode verwenden [Autodesk® CFD-Autoren haben erfolgreich SIMPLE-Varianten sowohl in Codes für finite Elemente als auch für finite Volumen eingesetzt].
Der FEM-Ansatz kommt in Autodesk® CFD vor allem wegen seiner Flexibilität bei der Modellierung beliebiger geometrischer Formen zur Anwendung.
Für Fluidströme gelten besondere Erwägungen. Wie bereits weiter oben in diesem Abschnitt gesehen gibt es 5 Gleichungen für 5 unbekannte Größen (u, v, w, p, T). Es gibt jedoch zwei Probleme im Zusammenhang mit diesen Gleichungen, die speziell für CFD (numerische Strömungsmechanik) gelten.
Erstens werden die zugrunde liegenden Gleichungen nicht nur gekoppelt, sondern sie weisen nichtlineare Terme auf, nämlich die Advektions- oder Trägheitsterme. Die Behandlung dieser Terme ist bereits seit mindestens 40 Jahren Gegenstand anhaltender Forschungen. Daher wird die Methode zur Diskretisierung dieser Advektionsparameter in Autodesk® CFD ständig neu bewertet. Wenn diese Terme nicht präzise genug modelliert werden, entsteht durch sie ein als numerische Diffusion bezeichneter Fehler. Wie der Name bereits andeutet, können die Fehler jede physikalische Diffusion überschwemmen und die physikalischen Eigenschaften des realen Problems falsch darstellen. Wenn Sie die Advektionsterme mit den üblichen Methoden zur Erzielung hoher Präzision modellieren (zentrale Unterschiede, Standard-Galerkin-Schemata), verursachen Sie numerische Dispersionsfehler, sobald die numerische Lösung um die echte Lösung oszilliert. Diese Dispersionsfehler können recht schnell zu abweichenden Lösungen führen, insbesondere bei turbulenten Strömungen. Bei den meisten handelsüblichen Finites-Volumen- und Finites-Element-Methoden werden diese Terme auf eine Weise diskretisiert, bei der ein Kompromiss zwischen Präzision und Stabilität gesucht wird. Finite-Volumen-Methoden verwenden Verfahren wie das Skew-Upwind- und das QUICK-Schema. Erfolgreiche Finites-Element-Methoden verwenden eine Form von "Stromlinie Aufwind"-Element. (Es gibt in der Tat CFD-Methoden für finite Elemente, die nicht diese Methode verwenden, sie sind jedoch nicht allgemein anwendbar). Autodesk® CFD verwendet verschiedene Varianten der Stromlinie Aufwind-Diskretisierungsschemata zur Modellierung der Advektionsparameter.
Die zweite größere Schwierigkeit mit den zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen besteht darin, dass keine explizite Gleichung für Druck bei nicht kompressiblen Strömungen vorhanden ist. Beispiel: Wenn Sie die Navier-Stokes- oder Impulsgleichungen für die Geschwindigkeiten verwenden, steht lediglich die Kontinuitätsgleichung für die Drucklösung zur Verfügung. Der Druck geht jedoch nicht in die Kontinuitätsgleichung ein. Dieses Problem wurde durch Manipulation einer Kombination dieser Gleichungen umgangen. Die (kommerziell gesehen) verbreitetste Methode zur Lösung dieses Dilemmas der fehlenden Druckgleichung wurde für Finite-Volumen-Methoden konzipiert und ist unter der Bezeichnung SIMPLE (oder einer Variante davon) bekannt. Diese Methode wird in folgendem Buch gut erläutert: "Numerical Heat Transfer" von Suhas V. Patankar (Hemisphere Publishing, 1980, ISBN 0-89116-522-3). Fast alle kommerziellen CFD-Codes für finite Volumen sowie die zwei verbreitetsten CFD-Codes für finite Elemente nutzen diese Methode. Im Fall von finiten Elementen handelt es sich dabei um eine Spezialanwendung dieser Methode. Autodesk® CFD verwendet eine Variante dieses bewährten Druck-Geschwindigkeitsalgorithmus auf Grundlage des im Buch von Suhas V. Patankar beschriebenen SIMPLE-R-Verfahrens.
Bei frühen CFD-Methoden für finite Elemente gab es zwar Probleme mit der Modellierung von Hochgeschwindigkeitsströmungen, aber durch die Anwendung einer Vielzahl erfolgreicher Verfahren für finite Volumen auf die Diskretisierungsmethode für finite Elemente in Autodesk® CFD ist ein äußerst robustes Mittel zur Vorhersage von turbulenten Hochgeschwindigkeitsströmungen und sogar von kompressiblen Strömungen entstanden. All dies wurde anhand der strengen Anwendung der Galerkin-Methode der gewichteten Residuen erreicht. Damit bleibt die den finiten Elementen eigene geometrische Flexibilität in Autodesk® CFD gewahrt.
Eine umfassendere theoretische Abhandlung einiger in Autodesk® CFD verwendeter Methoden enthält: A Streamline Upwind Finite Element Method For Laminar And Turbulent Flow von Rita J Schnipke, Ph.D.-Dissertation, University of Virginia, 1986 (erhältlich von University Microfilms in Ann Arbor, Michigan – www.umi.com).