Nieliniowe całkowanie równań ruchu

Nieliniowe całkowanie równań ruchu pozwala uzyskać odpowiedź konstrukcji, w której zdefiniowane zostały dowolne elementy nieliniowe. Całkowanie równań ruchu polega na uzyskaniu rozwiązania następującego równania zmiennej czasowej „t”:

M * a(t) + C * v(t) + N (d(t)) = F(t)

ze znanymi wartościami początkowymi d(0)=d0 i v(0)=v0,

gdzie:

M — macierz mas

K — macierz sztywności

C = α * M + β * K — macierz tłumienia

N — wektor sił wewnętrznych, który jest powiązany związkiem nieliniowym z wektorem przemieszczenia d

α — mnożnik podawany przez użytkownika

β — mnożnik podawany przez użytkownika

d — wektor przemieszczeń

v — wektor prędkości

a — wektor przyspieszeń

F — wektor obciążeń.

Wektor obciążenia jest przyjmowany jako , gdzie n — liczba składowych sił, Pi — i—ta składowa siły, φi(t) — i—ta funkcja zależna od czasu. Wymuszenie może zostać zapisane w postaci , gdzie Idir jest wektorem kierunkowym (dir = x, y, z), a jest akcelerogramem.

Uwaga: W przypadku metody Newmarka przyjmowane jest następujące uproszczenie: C = α M. Dla większości zadań możliwe jest przyjęcie macierzy mas M jako diagonalnej; znacznie przyspiesza to obliczenia.

W celu rozwiązania nieliniowego zadania całkowania równań ruchu stosowana jest metoda predictor-corrector (zobacz T.R.J. Hughes, T. Belytschko — Course notes for nonlinear finite element analysis. wrzesień, 4—8, 1995 r.).

Parametry wejściowe definiowane dla nieliniowego całkowania równań ruchu są niemal identyczne z parametrami definiowanymi dla liniowego całkowania równań ruchu. Parametry nieliniowe są takie same jak dla nieliniowej analizy statycznej.