Théorie de simulation d’événements quasi-statiques

Ce contexte théorique est vrai pour les simulations d’événements dynamiques et quasi-statiques.

Les simulations d’événements combinent les principes de la loi de Hooke (F=-kx) et de la 2e loi de Newton (F=ma). Après avoir combiné ces deux équations en éliminant le terme de force, nous arrivons à ma + kx = 0. Vous pouvez maintenant ajouter les effets de l'amortissement (F=-cv) pour arriver à l'équation générale du mouvement :

ma+cv+kx = 0

où m désigne la masse, a l'accélération, c le coefficient d'amortissement, v la vitesse, k la rigidité et x le déplacement. Sous forme de matrice, cette équation est représentée par :

[M]{a} + [C]{v}+[K]{x} = 0

À partir de cette équation fondamentale, les contraintes et les déformations peuvent être déterminées à l'aide du vecteur de déplacement {x} et des lois constitutives régissant la réponse du matériau.

Intégration du temps de différence centrale

Les simulations d’événements utilisent un solveur explicite basé sur l’algorithme d’intégration du temps de différence centrale. Cet algorithme utilise les connaissances des deux états précédents pour résoudre directement l’état actuel (déplacement, vitesse et accélération). La taille du pas entre deux états est déterminée par la limite de la stabilité du courant (incrément de pas stable), qui régit le plus grand pas autorisé, au-delà duquel la solution échouera. Lorsque les effets de l’amortissement sont pris en compte, cette valeur est exprimée comme suit :

où Δtcr est l’incrément de pas stable, ωmax est la plus grande fréquence propre du maillage et ξ est la fraction de l’amortissement critique dans le mode le plus élevé.

En règle générale, les incréments de pas stables dans une simulation d’événements quasi-statiques sont très petits. Le solveur explicite est très efficace et peut gérer les non-linéarités des matériaux et des contacts avec une relative facilité, car aucune matrice de rigidité ne doit être formée à chaque itération. Les accélérations nodales peuvent être résolues directement.