Base teorica della sollecitazione statica

Nel 1678, Robert Hooke gettò le basi della moderna analisi delle sollecitazioni ad elementi finiti con la legge di Hooke. Un corpo elastico si estende o si comprime in proporzione alla forza che agisce su di esso (o alla sollecitazione presente in esso) . In forma matematica:

F=kx

• F = Forza
• k = Costante proporzionale, detta rigidità
• x = Distanza di estensione o compressione

Hooke ha dimostrato l'equazione utilizzando dei pesi per allungare dei fili sospesi al soffitto.

Si supponga di avere una tazza da caffè su un tavolo. Viene spezzata in 2.000 piccoli elementi tetraedrici. Ciascun elemento ha quattro angoli o nodi. Tutti i nodi sul fondo della tazza da caffè vengono fissati (tutte le traslazioni sono vincolate), pertanto non possono spostarsi. Premere solo un nodo in prossimità della parte superiore della tazza.

Quel nodo si sposta un leggermente poiché tutti i materiali presentano una certa elasticità. F = kx descrive il movimento dell'elemento, tranne per il fatto che sono presenti altri elementi. Infatti, quando la forza viene trasmessa attraverso il primo elemento, si diffonde agli altri nodi.

Nel metodo ad elementi finiti, si verifica un passaggio di formulazione della rigidità degli elementi. Una rigidità (k) viene creata per la relazione tra tutti i nodi su ciascun elemento. Tutti i nodi sono connessi a tutti gli altri nodi sull'elemento tramite una molla. Si comporta in base alla legge di Hooke. La tazza da caffè viene ridotta in un grande sistema di molle. Viene determinato un valore per la traslazione (x) e la forza (F) per ogni nodo mediante la formula F = kx.

Le singole equazioni vengono assemblate in una matrice e risolte simultaneamente tramite diversi metodi numerici. I risultati sono gli spostamenti nodali relativi in tutto il modello, la deformazione del materiale che è rappresentata dagli spostamenti e la sollecitazione risultante.

La sollecitazione può essere determinata perché la forza in corrispondenza di ciascun nodo e la geometria e la rigidità di tutti gli elementi sono noti. I dati di sollecitazione grezzi sono quindi risolti nei seguenti valori per facilitare la valutazione dei risultati:

• Sei tensori di sollecitazione: tre componenti di sollecitazione di taglio normale e tre in base alle direzioni dell'asse globale
• Sollecitazioni combinate o equivalenti:
  • Prima sollecitazione principale (il valore di sollecitazione principale più positivo o di trazione)
  • Terza sollecitazione principale (il valore di sollecitazione principale più negativo o di compressione)
  • Sollecitazione di von Mises: un'intensità di sollecitazione equivalente che è sempre positiva. Il confronto di questa sollecitazione con la resistenza allo snervamento è una misura comune per la previsione di rotture nei materiali duttili.