NURBS 개념

NURBS 곡선 및 표면은 기존 제도 영역에는 없었으며, 컴퓨터를 사용한 3D 모델링용으로 특별히 만들어졌습니다. 곡선과 표면은 3D 모델링 공간 내에서 윤곽이나 모양을 나타내며, 수학적으로 구성됩니다.

NURBS 수학은 복잡하므로 이 섹션에서는 만드는 항목과 NURBS 오브젝트의 동작 이유를 이해하는 데 도움이 될 몇 가지 NURBS 개념만 간단하게 소개합니다. NURBS 모델링과 관련된 수학 및 알고리즘에 대한 자세한 내용은 Les Piegl 및 Wayne Tiller의 The NURBS Book(New York: Springer, second edition 1997)을 참조하십시오.

정의 및 매개변수 공간

NURBS라는 용어는 비균일 유리 B-스플라인(Non-Uniform Rational B-Splines)을 의미합니다. 특히 다음과 같은 의미가 있습니다.

NURBS의 비균일 특성은 중요한 측면을 제공합니다. NURBS 오브젝트는 수학적으로 생성되기 때문에 해당 오브젝트가 표시되는 3D 기하학적 공간뿐만 아니라 매개변수 공간을 갖습니다. 특히 노트라는 값 배열은 곡선이나 표면에서 각 CV(제어 정점)가 미치는 영향의 범위를 지정합니다. 노트는 3D 공간에 표시되지 않으므로 직접 조작할 수 없지만 해당 동작에서 표시되는 NURBS 오브젝트의 모양에 영향을 미치는 경우가 있습니다. 이 항목에서는 이러한 상황에 대해 설명합니다. 매개변수 공간은 기하학적으로 3D 공간에 존재하지만 위상 수학적으로 단일 U 차원만 있는 곡선에 대해서는 1차원입니다. 표면의 매개변수 공간에는 U와 V라는 두 가지 차원이 있습니다.

NURBS 곡선 및 표면에는 표준 형상 아핀 변환(변환)이나 투시 투영에서 변경되지 않는 중요한 특성이 있습니다. CV에는 오브젝트의 로컬 제어 능력이 있습니다. CV를 이동하거나 해당 가중치를 변경해도 인접한 CV 이외의 오브젝트 부분에는 영향을 주지 않습니다. 소프트 선택 컨트롤을 사용하여 이 특성을 재정의할 수 있습니다. 또한 CV를 연결하는 제어 격자는 표면을 둘러쌉니다. 이러한 특성을 볼록 헐 특성이라고 합니다.

차수 및 연속성

모든 곡선에는 차수가 있습니다. 곡선의 차수는 해당 곡선을 나타내는 데 사용된 방정식에서 가장 큰 멱지수입니다. 선형 등식은 각도 1이고 4각 등식은 각도 2입니다. NURBS 곡선은 일반적으로 큐빅 등식으로 표현되며 각도 3입니다. 더 큰 각도도 가능하지만 일반적으로 필요하지 않습니다.

곡선에는 연속성도 있습니다. 연속적인 곡선은 끊기지 않습니다. 연속성 수준은 여러 가지입니다. 각도나 커스프가 있는 곡선은 C 0 연속입니다. 즉, 곡선은 연속이지만 커스프에 파생이 없습니다. 이러한 첨점은 없지만 곡률이 변경되는 곡선은 C 1 연속입니다. 해당 도함수도 연속이지만 이차 도함수는 연속이 아닙니다. 연속적이고 변경되지 않는 곡률이 있는 곡선은 C 2 연속입니다. 일차 및 이차 도함수도 모두 연속입니다.

곡선 연속성 수준:

왼쪽: C 0 , 위쪽 각도 때문

가운데: C 1 , 위쪽에서 반원이 더 작은 반지름의 반원과 결합됨

오른쪽: C 2 , 차이가 없어 보이지만 오른쪽이 반원형이 아니며 왼쪽과 혼합됨

곡선에는 훨씬 더 높은 수준의 연속성이 있을 수 있지만 컴퓨터 모델링의 경우에는 이 세 가지가 적합합니다. 보통 눈으로는 C2 연속 곡선과 연속성이 더 높은 곡선을 구분할 수 없습니다.

연속성과 차수는 서로 관련이 있습니다. 3차 방정식에서 C 2 연속 곡선을 생성할 수 있습니다. 따라서 NURBS 모델링에서는 더 높은 차수의 곡선이 필요하지 않습니다. 또한 더 높은 차수의 곡선은 숫자로 나타내면 안정성이 떨어질 수 있으므로 사용하지 않는 것이 좋습니다.

NURBS 곡선의 세그먼트에 따라 연속성 수준이 달라질 수 있습니다. 특히 CV를 동일한 위치에 배치하거나 매우 가깝게 배치하면 연속성 수준이 감소됩니다. 동시 발생적인 두 CV는 곡률을 날카롭게 하고 동시 발생적인 세 CV는 곡선에 각이 있는 첨점을 만듭니다. NURBS 곡선의 이러한 특성을 다중도라고 합니다. 실제로 추가되는 하나 또는 두 개의 CV는 해당 곡선의 주위에 미치는 영향을 결합합니다.

다중도 효과: 왼쪽의 최고점에는 3개의 CV가 있고 오른쪽의 최고점에는 2개의 CV가 있습니다.

다른 CV에서 멀어지도록 CV를 이동하면 곡선의 연속성 수준이 다시 증가합니다. CV를 연결하면 다중도도 적용됩니다. 연결된 CV는 곡선에 더 날카로운 곡률이나 첨점을 만듭니다. CV의 연결을 끊고 다른 CV에서 멀어지도록 이동하면 효과가 다시 사라집니다.

차수, 연속성 및 다중도는 곡선뿐만 아니라 NURBS 표면에도 적용됩니다.

곡선 및 표면 다듬기

NURBS 곡선 미세 조정은 더 많은 CV 추가를 의미합니다. 다듬기를 수행하면 곡선의 모양을 더 세부적으로 제어할 수 있습니다. NURBS 곡선을 미세 조정할 때 3ds Max는 원래 곡률을 유지합니다. 즉, 곡선의 모양은 변경되지 않지만 인접한 CV가 추가된 CV에서 멀어지게 됩니다. 이러한 효과는 다중도로 인해 발생합니다. 인접한 CV가 이동하지 않은 경우 CV 존재가 증가하면 곡선이 날카로워집니다. 이러한 효과가 발생하지 않도록 하려면 먼저 곡선을 다듬은 다음 새로 추가한 CV를 변환하거나 해당 가중치를 조정하여 변경합니다.

NURBS 곡선 다듬기

기본적으로 NURBS 표면에는 1차원 매개변수 공간에서 2차원으로 확장되는, NURBS 곡선과 동일한 특성이 있습니다.

CV 곡선 및 표면 재매개변수화하기

NURBS 곡선이나 표면을 다듬을 때는 해당 곡선이나 표면을 재매개변수화하는 것이 좋습니다. 재매개변수화를 수행하면 매개변수 공간이 조정되어 뷰포트에서 편집할 때 곡선이나 표면도 동작하게 됩니다. 다음과 같은 두 가지 방법으로 재매개변수화할 수 있습니다.

CV 곡선 및 표면 하위 오브젝트는 곡선이나 표면을 편집할 때마다 자동으로 재매개변수화되는 옵션을 제공합니다.

포인트 곡선 및 표면 개념

CV 곡선 및 표면뿐만 아니라 포인트 곡선 및 포인트 표면으로 작업할 수 있습니다. 이러한 오브젝트를 제어하는 포인트는 곡선이나 표면 위에 위치하도록 제한됩니다. 제어 래티스와 가중치 컨트롤은 없으며, 더 쉽게 작업할 수 있는 보다 간단한 인터페이스입니다. 또한 포인트 기반 오브젝트에서는 종속(제한) 포인트를 기준으로 곡선을 구성한 다음 이러한 곡선을 사용하여 종속 표면을 구성할 수 있습니다.

포인트 곡선 및 표면은 완전하게 정의된 NURBS 오브젝트인 CV 곡선 및 표면의 인터페이스로 생각할 수 있습니다. 곡선이나 표면의 기본 표현은 CV를 사용하여 구성됩니다.

또한 포인트 곡선이나 표면을 해당 포인트에 종속되는 것으로 생각할 수 있습니다. 곡선 변환 버튼을 사용하여 점 곡선이나 표면을 CV 형태로 변환하거나 그 반대로 변환할 수 있습니다.

상위 주제: NURBS 모델: 오브젝트 및 하위 오브젝트