關於螺旋線定義

各種變化曲線係用於土木工程，以在切線和圓形曲線之間，以及在兩條具有不同曲率的圓形曲線之間，逐漸引入曲率和超高。

在螺旋線與其他切線和曲線的關係中，每條螺旋線可為內曲或外曲。

工程師在設計和規劃螺旋線時最常用的兩個參數為 L (螺旋線長度) 和 R。R 參數是指螺旋線一端的曲率半徑。R₁ 和 R₂ 可用於區分螺旋線起點和終點的半徑。

下圖顯示了螺旋線的各種參數：

螺旋線參數	描述
R₁	曲線 1 的半徑。
R₂	曲線 2 的半徑。
SS	螺旋線起始位置。
SE	螺旋線結束位置。
SP	弧長 l 處的螺旋線點。
Θ	弧長 l 處螺旋線點的中心角度。
l	從螺旋線起始位置沿螺旋線的弧長。
L	螺旋線起點和終點位置之間的螺旋線總弧長。

複合螺旋線

複合螺旋線提供兩條具有不同半徑的圓形曲線之間的變化。有兩種螺旋線類型：簡單螺旋線和複合螺旋線。複合螺旋線包含由兩條簡單螺旋線組成的曲線。該曲線包含兩個跨距，每個跨距都是一條簡單螺旋線，與其相鄰螺旋線連續相切接合。複合螺旋線允許曲率函數的連續性，並提供在超高中引入平滑變化的方法。

克羅梭螺旋線

雖然 Autodesk Civil 3D 支援數種螺旋線類型，但是克羅梭螺旋線是最常用的螺旋線類型。克羅梭螺旋線在世界範圍內廣泛用於公路和鐵路鐵軌設計。

由瑞士數學家 Leonard Euler 最先研究，克羅梭的曲率函數是線性函數，其將螺旋線與切線相交處的長度函數曲率選擇為零 (0)。然後，曲率將線性增加直到其等於螺旋線和曲線交點處相鄰曲線的曲率。

與簡單曲線不同，它還保持區域曲率的連續性，這在速度較高時會變得更加重要。

公式

克羅梭螺旋線可以用以下公式表示：

其中：

Θ = 弧長 l 處螺旋線點的中心角度。
l = 沿曲線的弧長。

如需參考，請參閱上圖。

螺旋線的真平度：

螺旋線所對的總角度：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線距離為：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線偏移距離為：

Bloss 螺旋線

可以將 Bloss 螺旋線用作變化，而不使用克羅梭螺旋線。此螺旋線優於克羅梭螺旋線，因為轉換 P 較小，從而會有較長的變化並伴有較大的螺旋線延伸 (K)。此係數在軌道設計中非常重要。

公式

Bloss 螺旋線可以表示為：

其他關鍵表示式：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線距離為：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線偏移距離為：

正弦曲線

正弦曲線表示連續的曲率路線，適用於切線偏折從 0 度到 90 度的變化。但是，由於正弦曲線比真實的螺旋線更陡，因而很難將其用表格表示並進行監視，所以並未得到廣泛使用。

公式

正弦曲線可以表示為：

其中：

Θ = 弧長 i 處螺旋線點的中心角度。
l = 沿曲線的弧長。

如需參考，請參閱上圖。

其中 r 為任何給定點處的曲率半徑。

正弦半波長遞減正切曲線

此形式的方程式通常用於日本的鐵路設計。此曲線在變更低偏折角度 (關於車輛動力學方面) 的曲率時需要有效變化的情況下非常有用。

公式

正弦半波長遞減正切曲線可以表示為：

其中，和 x 是從起點到曲線上任意一點的距離，並沿 (延伸的) 初始切線測量；X 是變化曲線終點處的 X 總數。

其他關鍵表示式：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線距離為：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線偏移距離為：

三次拋物線

三次拋物線的收斂速度比三次螺旋線稍慢，因而在鐵路和公路設計領域中廣泛使用。

公式

三次拋物線的最小半徑

三次拋物線上任意點的半徑為：

其中：Θ = 弧長處螺旋線點的中心角度。

如需參考，請參閱上圖。

三次拋物線根據以下方程式取得最小 r：

所以

三次拋物線半徑從無窮大減少到 24 度 5 分 41 秒時的，然後再開始向前增加。這使得三次拋物線無法用於大於 24 度的偏折。

三次 (JP)

此種變化是為滿足日本的要求而開發的。已開發出一些與克羅梭螺旋線近似的螺旋線，以用在偏折角度較小或半徑較大的情況下。這些近似的螺旋線其中之一 (用於日本的設計) 便是三次 (JP)。

公式

三次 (JP) 可以表示為：

其中 X = 螺旋線 - 曲線點處自切線 - 螺旋線點的切線距離

此公式也可以表示為：

其中為螺旋線處的中心角度 (如插圖 i1 和 i2 中所述)

其他關鍵表示式：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線距離為：

從切線 - 螺旋線點到螺旋線 - 曲線點的切線偏移距離為：

NSW 三次拋物線

這是一種滿足新南威爾斯 (澳大利亞) 標準要求的修正的三次拋物線。

公式

NSW 三次拋物線可以表示為：

其中：

Φ = R 處最終徑向線與初始切線互垂線之間的角度
R = 曲線半徑
X_c = 給定螺旋線的總 X 值
Y_c = 給定螺旋線的總 Y 值

雙二次 (Schramm) 螺旋線

雙二次 (Schramm) 螺旋線垂直加速度的值較小。它們包含兩條二次拋物線，這兩條二次拋物線半徑作為曲線長度 (l) 的函數而變化。

簡單曲線公式

第一條拋物線的曲率：

其中

第二條拋物線的曲率：

其中

根據使用者定義的變化曲線的長度 (L) 指定該曲線。

複合曲線公式

第一條拋物線的曲率：

其中

第二條拋物線的曲率：

其中