Сглаживание поверхности по методу Кригинга

Метод Кригинга является более сложным по сравнению с методом интерполяции по естественным соседним точкам. Он предусматривает использование модели пространственной непрерывности или зависимости (в виде ковариации или семивариограммы), а также выборки данных поверхности для определения статистических тенденций, на основе которых выполняется интерполяция/экстраполяция точек.

Пространственное прогнозирование по методу Кригинга выполняется в два этапа:

  1. Задается модель ковариации или семивариограммы пространственного процесса. Следует задать как вид математической функции, так и значения соответствующих параметров.
  2. На основе этой модели зависимости для заданного набора точек пространства решается система Кригинга; решением этой системы являются прогнозируемые значения и соответствующие среднеквадратические ошибки.

Данные выборки

Пользователь должен выбрать результирующие местоположения точек при интерполяции. Важно убедиться в том, что данные выборки подходят для выбранных местоположений точек, являющихся результатом интерполяции. В частности, при определении тенденции для местоположений точек, являющихся результатом интерполяции/экстраполяции, не следует выбирать точки на противоположной стороне поверхности, поскольку в этом случае тенденция может не соответствовать этим местоположениям.

Для повышения производительности рекомендуется, чтобы набор данных выборки оставался небольшим. Это объясняется тем, что как время на интерполяцию, так и объем используемой памяти очень быстро увеличиваются по мере увеличения размера набора выборки. В алгоритме используется матрица, содержащая одну запись для каждой пары точек (N**2 записей, где N - это число точек выборки). Далее эта матрица инвертируется (N**3 операций). Следовательно, для обеспечения высокой производительности необходимо, чтобы число N было небольшим. Рекомендуется использовать не более 200 точек выборки.

Модель семивариограммы

Полувариация является количественным показателем пространственной зависимости между выборками. Величина полувариации между точками зависит от расстояния между этими точками. Чем меньше расстояние между точками, тем меньше полувариация. График зависимости полувариации от расстояния до точки называется семивариограммой.

Метод Кригинга предусматривает пять моделей семивариограммы:

По мере увеличения расстояния от точки полувариация возрастает до тех пор, пока не достигнет величины вариации относительно среднего значения; после этого полувариация перестает возрастать, что соответствует плоскому участку на семивариограмме. Расстояние от рассматриваемой точки до местоположения, соответствующего началу плоского участка, называется диапазоном или протяженностью регионализованной переменной. Местоположения в пределах этого диапазона связаны друг с другом, поэтому все известные значения в точках выборки, расположенных в этой области (которая также называются окрестностью), необходимо учитывать при оценке неизвестного значения в рассматриваемой точке.

Значение в центре окрестности, как правило, не известно. Для определения этого значения всем известным значениям в пределах окрестности назначаются весовые коэффициенты с применением семивариограммы. Затем на основе этих весовых коэффициентов и известных значений вычисляется неизвестное значение.

Совет: Перед применением сглаживания поверхности по методу Кригинга рекомендуется изучить принцип действия этого метода.