Определения переходной кривой

По отношению к другим прямым участкам и кривым каждая переходная кривая может быть входящей или исходящей.

При проектировании и разметке переходных кривых часто используются такие параметры как L (длина переходной кривой) и R (радиус круговой кривой).

На следующей иллюстрации показаны различные параметры переходной кривой:

Параметр переходной кривой	Описание
i1	Центральный угол переходной кривой L1, т.е. собственно угол переходной кривой.
i2	Центральный угол переходной кривой L2, т.е. собственно угол переходной кривой.
T1	Общая длина касательной от ТП до TS.
T2	Общая длина касательной от ТП до ST.
X1	Длина касательной от TS, измеренная в SC.
X2	Длина касательной от ST, измеренная в CS.
Y1	Расстояние смещения касательной от TS, измеренное в SC.
Y2	Расстояние смещения касательной от CS, измеренное в ST.
P1	Смещение исходной касательной в точке PC сместившейся кривой.
P2	Смещение исходной касательной в точке PT сместившейся кривой.
K1	Абсцисса PC, сдвинутой относительно TS.
K2	Абсцисса PT, сдвинутой относительно ST.
LT1	Длинная касательная входящей переходной кривой.
LT2	Длинная касательная исходящей переходной кривой.
ST1	Короткая касательная входящей переходной кривой.
ST2	Короткая касательная исходящей переходной кривой.
	Другие параметры переходных кривых
A1	Значение А равно квадратному корню из длины переходной кривой, умноженной на радиус. Это мера пологости кривой.
A2	Значение А равно квадратному корню из длины переходной кривой, умноженной на радиус. Это мера пологости кривой.

Формула

Составная переходная кривая

Составные переходные кривые служат для создания перехода между двумя круговыми кривыми различного радиуса. Как и простые переходные кривые, они обеспечивают непрерывность функции кривизны и являются методом создания плавного перехода в вираже.

Клотоида (переходная кривая)

В Autodesk Civil 3D поддерживается использование нескольких типов переходных кривых, однако наиболее часто используются переходные кривые типа «клотоида». Переходная кривая типа «клотоида» используется в проектировании автомобильных и железных дорог инженерами во всем мире.

Функция кривизны клотоиды, впервые исследованная швейцарским математиком Леонардом Эйлером, представляет собой линейную функцию, выбранную таким образом, что в месте соединения переходной кривой с прямолинейным участком кривизна как функция длины равна нулю. Далее кривизна возрастает линейно до тех пор, пока не достигнет кривизны прилегающей кривой в точке соединения переходной кривой и кривой.

Такая трасса обеспечивает непрерывность функции положения и ее первой производной (местного азимута), подобно тому как это происходит в случае прямого участка и кривой в точке начала кривой (PC). Однако в отличие от простой кривой здесь обеспечивается также непрерывность второй производной (местной кривизны), приобретающей значение при высоких скоростях.

Формула

Переходные кривые типа «клотоида» могут быть выражены как:

Пологость переходной кривой:

Общий угол, стягиваемый переходной кривой:

Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Переходная кривая Блосса

Вместо клотоиды на переходе можно использовать переходную кривую Блосса с параболой пятой степени. Преимущество этой переходной кривой в сравнении с клотоидой заключается в том, что сдвиг P здесь меньше, поэтому переход получается более длинным, как и выступ переходной кривой (K). Этот фактор имеет важное значение при проектировании рельсовых путей.

Формула

Переходные кривые Блосса можно выразить как:

Другие распространенные выражения

Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой:

Синусоидальные кривые

Эти кривые характеризуются согласованным дирекционным углом кривизны; они применяются для перехода между прямыми участками с отклонением 0 и 90 градусов. Однако синусоидальные кривые не имеют широкого применения, так как они более пологи, чем истинная спираль, из-за чего их труднее представлять в табличной форме и размечать.

Формула

Синусоидальные кривые могут быть представлены в виде следующего выражения:

где R — радиус кривизны в любой заданной точке.

Убывающая половина синусоиды с прямым участком

Уравнение такой формы часто используется в проектировании железных дорог в Японии. Применение этой кривой целесообразно в ситуациях, при которых требуется эффективно изменить кривизну при малых (с точки зрения динамических характеристик транспортного средства) углах отклонения.

Формула

Кривые типа «убывающая половина синусоиды с прямым участком» можно выразить как:

где и X — это расстояние от начальной точки до любой точки кривой, измеряемое вдоль (удлиненного) начального прямого участка; X — общее значение Х в конце кривой перехода.

Другие распространенные выражения

Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой:

Кубические параболы

Кубические параболы сходятся не так быстро, как кубические переходные кривые, что делает их весьма востребованными при проектировании железных дорог и автострад.

Формула

Минимальный радиус кубической параболы

Радиус в любой точке кубической параболы:

Кубическая парабола достигает минимального значения r при:

Поэтому

Радиус кубической параболы убывает от бесконечности до значения при 24 градусах, 5 минутах 41 секунде, а затем начинает возрастать снова. Это делает кубические параболы бесполезными при отклонениях, превышающих 24 градуса.

Кубическая кривая (JP)

Этот переход был разработан в соответствии с требованиями, действующими в Японии. Для ситуаций, в которых требуется применить малый угол отклонения или большой радиус, разработано несколько аппроксимаций клотоиды. Одной из таких аппроксимаций, используемой при проектировании в Японии, является кубическая кривая (JP).

Формула

Кубические кривые могут быть выражены как:

где Х = длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой

Эту формулу можно также выразить следующим образом:

где обозначает центральный угол переходной кривой (показанный как i1 и i2 на иллюстрации)

Другие распространенные выражения:

Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой:

Кубическая парабола NSW

Это тип кубической параболы, измененной в соответствии с требованиями штата Новый Южный Уэльс.

Формула

Кубическую параболу NSW можно выразить в следующем виде:

где:

Φ = угол между конечной радиальной линией в R и линией, перпендикулярной исходному прямому участку

R = радиус кривой

X_c = общее значение X для заданной переходной кривой

Би-квадратичные переходные кривые (Шрамма)

Для би-квадратичных переходных кривых (Шрамма) характерны низкие значения вертикального ускорения. Они состоят из двух парабол второй степени, радиусы которых изменяются как функция длины кривой.

Формула простой кривой

Кривизна первой параболы:

при